Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68865 / 64814
↖ ↑ ↗
← N  1.982636°
E  9.143372°		 ← 305.24 m → N  1.982636°
E  9.146118°		 →
↑
305.17 m
↓
↑
305.17 m
↓
N  1.979892°
E  9.143372°		 ← 305.24 m →
93 151 m²		 N  1.979892°
E  9.146118°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68865 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 64814 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.525402069091797 y=0.494495391845703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.525402069091797 × 217)
    floor (0.525402069091797 × 131072)
    floor (68865.5)     		tx = 68865
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.494495391845703 × 217)
    floor (0.494495391845703 × 131072)
    floor (64814.5)     		ty = 64814
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68865 / 64814 ti = "17/68865/64814"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68865/64814.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68865 ÷ 217
    68865 ÷ 131072     		x = 0.525398254394531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 64814 ÷ 217
    64814 ÷ 131072     		y = 0.494491577148438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.525398254394531 × 2 - 1) × π
    0.0507965087890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.15958194
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.494491577148438 × 2 - 1) × π
    0.011016845703125 × 3.1415926535     		Φ = 0.0346104415256805
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.15958194} λ = 0.15958194}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0346104415256805))-π/2
    2×atan(1.03521635293634)-π/2
    2×0.80269993025726-π/2
    1.60539986051452-1.57079632675     		φ = 0.03460353
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.15958194} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.143372°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.03460353 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 1.982636°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68865 KachelY 64814 0.15958194 0.03460353 9.143372 1.982636
    Oben rechts KachelX + 1 68866 KachelY 64814 0.15962988 0.03460353 9.146118 1.982636
    Unten links KachelX 68865 KachelY + 1 64815 0.15958194 0.03455563 9.143372 1.979892
    Unten rechts KachelX + 1 68866 KachelY + 1 64815 0.15962988 0.03455563 9.146118 1.979892
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.03460353-0.03455563) × R
    4.79000000000035e-05 × 6371000     		dl = 305.170900000022m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.03460353-0.03455563) × R
    4.79000000000035e-05 × 6371000     		dr = 305.170900000022m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.15958194-0.15962988) × cos(0.03460353) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.999401357594095 × 6371000     		do = 305.242899200158m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.15958194-0.15962988) × cos(0.03455563) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.999403013625898 × 6371000     		du = 305.243404994897m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.03460353)-sin(0.03455563))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999401357594095-0.999403013625898)×R²
    abs(0.15962988-0.15958194)×1.65603180313223e-06×R²
    4.79399999999963e-05×1.65603180313223e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.65603180313223e-06×40589641000000     		ar = 93151.3274622644m²