Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 68864 / 44641
↖ ↑ ↗
← N 49.665850°
E  9.140625°		 ← 197.69 m → N 49.665850°
E  9.143372°		 →
↑
197.69 m
↓
↑
197.69 m
↓
N 49.664072°
E  9.140625°		 ← 197.69 m →
39 081 m²		 N 49.664072°
E  9.143372°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68864 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44641 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.525394439697266 y=0.340587615966797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.525394439697266 × 217)
    floor (0.525394439697266 × 131072)
    floor (68864.5)     		tx = 68864
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.340587615966797 × 217)
    floor (0.340587615966797 × 131072)
    floor (44641.5)     		ty = 44641
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68864 / 44641 ti = "17/68864/44641"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68864/44641.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68864 ÷ 217
    68864 ÷ 131072     		x = 0.525390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44641 ÷ 217
    44641 ÷ 131072     		y = 0.340583801269531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.525390625 × 2 - 1) × π
    0.05078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.15953400
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.340583801269531 × 2 - 1) × π
    0.318832397460938 × 3.1415926535     		Φ = 1.00164151756107
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.15953400} λ = 0.15953400}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.00164151756107))-π/2
    2×atan(2.72274760013494)-π/2
    2×1.21881446881059-π/2
    2.43762893762118-1.57079632675     		φ = 0.86683261
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.15953400} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.140625°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86683261 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.665850°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68864 KachelY 44641 0.15953400 0.86683261 9.140625 49.665850
    Oben rechts KachelX + 1 68865 KachelY 44641 0.15958194 0.86683261 9.143372 49.665850
    Unten links KachelX 68864 KachelY + 1 44642 0.15953400 0.86680158 9.140625 49.664072
    Unten rechts KachelX + 1 68865 KachelY + 1 44642 0.15958194 0.86680158 9.143372 49.664072
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86683261-0.86680158) × R
    3.1030000000043e-05 × 6371000     		dl = 197.692130000274m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86683261-0.86680158) × R
    3.1030000000043e-05 × 6371000     		dr = 197.692130000274m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.15953400-0.15958194) × cos(0.86683261) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.647244236460776 × 6371000     		do = 197.685049881752m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.15953400-0.15958194) × cos(0.86680158) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.647267889781017 × 6371000     		du = 197.69227421459m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86683261)-sin(0.86680158))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.647244236460776-0.647267889781017)×R²
    abs(0.15958194-0.15953400)×2.36533202413458e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.36533202413458e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.36533202413458e-05×40589641000000     		ar = 39081.4926805397m²