Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 68863 / 44746
↖ ↑ ↗
← N 49.478833°
E  9.137879°		 ← 198.40 m → N 49.478833°
E  9.140625°		 →
↑
198.46 m
↓
↑
198.46 m
↓
N 49.477048°
E  9.137879°		 ← 198.41 m →
39 375 m²		 N 49.477048°
E  9.140625°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68863 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44746 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.525386810302734 y=0.341388702392578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.525386810302734 × 217)
    floor (0.525386810302734 × 131072)
    floor (68863.5)     		tx = 68863
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.341388702392578 × 217)
    floor (0.341388702392578 × 131072)
    floor (44746.5)     		ty = 44746
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68863 / 44746 ti = "17/68863/44746"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68863/44746.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68863 ÷ 217
    68863 ÷ 131072     		x = 0.525382995605469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44746 ÷ 217
    44746 ÷ 131072     		y = 0.341384887695312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.525382995605469 × 2 - 1) × π
    0.0507659912109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.15948607
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.341384887695312 × 2 - 1) × π
    0.317230224609375 × 3.1415926535     		Φ = 0.996608143100967
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.15948607} λ = 0.15948607}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.996608143100967))-π/2
    2×atan(2.709077424321)-π/2
    2×1.21718243145468-π/2
    2.43436486290937-1.57079632675     		φ = 0.86356854
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.15948607} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.137879°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86356854 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.478833°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68863 KachelY 44746 0.15948607 0.86356854 9.137879 49.478833
    Oben rechts KachelX + 1 68864 KachelY 44746 0.15953400 0.86356854 9.140625 49.478833
    Unten links KachelX 68863 KachelY + 1 44747 0.15948607 0.86353739 9.137879 49.477048
    Unten rechts KachelX + 1 68864 KachelY + 1 44747 0.15953400 0.86353739 9.140625 49.477048
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86356854-0.86353739) × R
    3.11500000000908e-05 × 6371000     		dl = 198.456650000579m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86356854-0.86353739) × R
    3.11500000000908e-05 × 6371000     		dr = 198.456650000579m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.15948607-0.15953400) × cos(0.86356854) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.649728928183693 × 6371000     		do = 198.402544459903m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.15948607-0.15953400) × cos(0.86353739) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.649752607038799 × 6371000     		du = 198.409775083166m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86356854)-sin(0.86353739))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.649728928183693-0.649752607038799)×R²
    abs(0.15953400-0.15948607)×2.3678855105902e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.3678855105902e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.3678855105902e-05×40589641000000     		ar = 39375.0218109587m²