Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68862 / 64818
↖ ↑ ↗
← N  1.971657°
E  9.135132°		 ← 305.24 m → N  1.971657°
E  9.137879°		 →
↑
305.23 m
↓
↑
305.23 m
↓
N  1.968912°
E  9.135132°		 ← 305.25 m →
93 171 m²		 N  1.968912°
E  9.137879°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68862 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 64818 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.525379180908203 y=0.494525909423828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.525379180908203 × 217)
    floor (0.525379180908203 × 131072)
    floor (68862.5)     		tx = 68862
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.494525909423828 × 217)
    floor (0.494525909423828 × 131072)
    floor (64818.5)     		ty = 64818
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68862 / 64818 ti = "17/68862/64818"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68862/64818.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68862 ÷ 217
    68862 ÷ 131072     		x = 0.525375366210938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 64818 ÷ 217
    64818 ÷ 131072     		y = 0.494522094726562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.525375366210938 × 2 - 1) × π
    0.050750732421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.15943813
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.494522094726562 × 2 - 1) × π
    0.010955810546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.0344186939272003
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.15943813} λ = 0.15943813}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0344186939272003))-π/2
    2×atan(1.03501787171651)-π/2
    2×0.802604113534926-π/2
    1.60520822706985-1.57079632675     		φ = 0.03441190
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.15943813} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.135132°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.03441190 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 1.971657°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68862 KachelY 64818 0.15943813 0.03441190 9.135132 1.971657
    Oben rechts KachelX + 1 68863 KachelY 64818 0.15948607 0.03441190 9.137879 1.971657
    Unten links KachelX 68862 KachelY + 1 64819 0.15943813 0.03436399 9.135132 1.968912
    Unten rechts KachelX + 1 68863 KachelY + 1 64819 0.15948607 0.03436399 9.137879 1.968912
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.03441190-0.03436399) × R
    4.79100000000052e-05 × 6371000     		dl = 305.234610000033m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.03441190-0.03436399) × R
    4.79100000000052e-05 × 6371000     		dr = 305.234610000033m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.15943813-0.15948607) × cos(0.03441190) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.999407968995204 × 6371000     		do = 305.244918492234m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.15943813-0.15948607) × cos(0.03436399) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.99940961619696 × 6371000     		du = 305.245421590049m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.03441190)-sin(0.03436399))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999407968995204-0.99940961619696)×R²
    abs(0.15948607-0.15943813)×1.6472017554392e-06×R²
    4.79399999999963e-05×1.6472017554392e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.6472017554392e-06×40589641000000     		ar = 93171.3904497244m²