Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68861 / 69821
↖ ↑ ↗
← S 11.687204°
E  9.132385°		 ← 299.09 m → S 11.687204°
E  9.135132°		 →
↑
299.05 m
↓
↑
299.05 m
↓
S 11.689893°
E  9.132385°		 ← 299.09 m →
89 445 m²		 S 11.689893°
E  9.135132°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68861 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69821 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.525371551513672 y=0.532695770263672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.525371551513672 × 217)
    floor (0.525371551513672 × 131072)
    floor (68861.5)     		tx = 68861
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.532695770263672 × 217)
    floor (0.532695770263672 × 131072)
    floor (69821.5)     		ty = 69821
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68861 / 69821 ti = "17/68861/69821"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68861/69821.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68861 ÷ 217
    68861 ÷ 131072     		x = 0.525367736816406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69821 ÷ 217
    69821 ÷ 131072     		y = 0.532691955566406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.525367736816406 × 2 - 1) × π
    0.0507354736328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.15939019
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.532691955566406 × 2 - 1) × π
    -0.0653839111328125 × 3.1415926535     		Φ = -0.205409614871941
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.15939019} λ = 0.15939019}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.205409614871941))-π/2
    2×atan(0.814313693088428)-π/2
    2×0.683408068932568-π/2
    1.36681613786514-1.57079632675     		φ = -0.20398019
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.15939019} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.132385°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.20398019 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -11.687204°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68861 KachelY 69821 0.15939019 -0.20398019 9.132385 -11.687204
    Oben rechts KachelX + 1 68862 KachelY 69821 0.15943813 -0.20398019 9.135132 -11.687204
    Unten links KachelX 68861 KachelY + 1 69822 0.15939019 -0.20402713 9.132385 -11.689893
    Unten rechts KachelX + 1 68862 KachelY + 1 69822 0.15943813 -0.20402713 9.135132 -11.689893
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.20398019--0.20402713) × R
    4.69399999999953e-05 × 6371000     		dl = 299.05473999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.20398019--0.20402713) × R
    4.69399999999953e-05 × 6371000     		dr = 299.05473999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.15939019-0.15943813) × cos(-0.20398019) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.979268075191107 × 6371000     		do = 299.09367652377m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.15939019-0.15943813) × cos(-0.20402713) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.979258565542277 × 6371000     		du = 299.090772032239m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.20398019)-sin(-0.20402713))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.979268075191107-0.979258565542277)×R²
    abs(0.15943813-0.15939019)×9.50964883028593e-06×R²
    4.79400000000241e-05×9.50964883028593e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×9.50964883028593e-06×40589641000000     		ar = 89444.9473839134m²