Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68861 / 64815
↖ ↑ ↗
← N  1.979892°
E  9.132385°		 ← 305.24 m → N  1.979892°
E  9.135132°		 →
↑
305.23 m
↓
↑
305.23 m
↓
N  1.977147°
E  9.132385°		 ← 305.24 m →
93 171 m²		 N  1.977147°
E  9.135132°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68861 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 64815 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.525371551513672 y=0.494503021240234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.525371551513672 × 217)
    floor (0.525371551513672 × 131072)
    floor (68861.5)     		tx = 68861
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.494503021240234 × 217)
    floor (0.494503021240234 × 131072)
    floor (64815.5)     		ty = 64815
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68861 / 64815 ti = "17/68861/64815"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68861/64815.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68861 ÷ 217
    68861 ÷ 131072     		x = 0.525367736816406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 64815 ÷ 217
    64815 ÷ 131072     		y = 0.494499206542969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.525367736816406 × 2 - 1) × π
    0.0507354736328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.15939019
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.494499206542969 × 2 - 1) × π
    0.0110015869140625 × 3.1415926535     		Φ = 0.0345625046260605
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.15939019} λ = 0.15939019}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0345625046260605))-π/2
    2×atan(1.03516672906336)-π/2
    2×0.80267597613613-π/2
    1.60535195227226-1.57079632675     		φ = 0.03455563
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.15939019} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.132385°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.03455563 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 1.979892°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68861 KachelY 64815 0.15939019 0.03455563 9.132385 1.979892
    Oben rechts KachelX + 1 68862 KachelY 64815 0.15943813 0.03455563 9.135132 1.979892
    Unten links KachelX 68861 KachelY + 1 64816 0.15939019 0.03450772 9.132385 1.977147
    Unten rechts KachelX + 1 68862 KachelY + 1 64816 0.15943813 0.03450772 9.135132 1.977147
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.03455563-0.03450772) × R
    4.79099999999982e-05 × 6371000     		dl = 305.234609999989m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.03455563-0.03450772) × R
    4.79099999999982e-05 × 6371000     		dr = 305.234609999989m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.15939019-0.15943813) × cos(0.03455563) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.999403013625898 × 6371000     		do = 305.243404995073m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.15939019-0.15943813) × cos(0.03450772) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.99940466770967 × 6371000     		du = 305.243910194833m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.03455563)-sin(0.03450772))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999403013625898-0.99940466770967)×R²
    abs(0.15943813-0.15939019)×1.65408377172938e-06×R²
    4.79400000000241e-05×1.65408377172938e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.65408377172938e-06×40589641000000     		ar = 93170.9287987807m²