Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68861 / 43410
↖ ↑ ↗
← N 51.805218°
E  9.132385°		 ← 188.86 m → N 51.805218°
E  9.135132°		 →
↑
188.84 m
↓
↑
188.84 m
↓
N 51.803520°
E  9.132385°		 ← 188.86 m →
35 664 m²		 N 51.803520°
E  9.135132°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68861 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43410 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.525371551513672 y=0.331195831298828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.525371551513672 × 217)
    floor (0.525371551513672 × 131072)
    floor (68861.5)     		tx = 68861
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.331195831298828 × 217)
    floor (0.331195831298828 × 131072)
    floor (43410.5)     		ty = 43410
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68861 / 43410 ti = "17/68861/43410"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68861/43410.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68861 ÷ 217
    68861 ÷ 131072     		x = 0.525367736816406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43410 ÷ 217
    43410 ÷ 131072     		y = 0.331192016601562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.525367736816406 × 2 - 1) × π
    0.0507354736328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.15939019
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.331192016601562 × 2 - 1) × π
    0.337615966796875 × 3.1415926535     		Φ = 1.06065184099336
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.15939019} λ = 0.15939019}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.06065184099336))-π/2
    2×atan(2.8882530575388)-π/2
    2×1.23748397751441-π/2
    2.47496795502882-1.57079632675     		φ = 0.90417163
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.15939019} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.132385°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90417163 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.805218°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68861 KachelY 43410 0.15939019 0.90417163 9.132385 51.805218
    Oben rechts KachelX + 1 68862 KachelY 43410 0.15943813 0.90417163 9.135132 51.805218
    Unten links KachelX 68861 KachelY + 1 43411 0.15939019 0.90414199 9.132385 51.803520
    Unten rechts KachelX + 1 68862 KachelY + 1 43411 0.15943813 0.90414199 9.135132 51.803520
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90417163-0.90414199) × R
    2.9640000000053e-05 × 6371000     		dl = 188.836440000337m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90417163-0.90414199) × R
    2.9640000000053e-05 × 6371000     		dr = 188.836440000337m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.15939019-0.15943813) × cos(0.90417163) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.618336818937566 × 6371000     		do = 188.855980493347m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.15939019-0.15943813) × cos(0.90414199) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.618360113133582 × 6371000     		du = 188.863095140403m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90417163)-sin(0.90414199))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.618336818937566-0.618360113133582)×R²
    abs(0.15943813-0.15939019)×2.32941960159883e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.32941960159883e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.32941960159883e-05×40589641000000     		ar = 35663.5627841719m²