Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 68860 / 69803
↖ ↑ ↗
← S 11.638786°
E  9.129638°		 ← 299.15 m → S 11.638786°
E  9.132385°		 →
↑
299.12 m
↓
↑
299.12 m
↓
S 11.641476°
E  9.129638°		 ← 299.14 m →
89 480 m²		 S 11.641476°
E  9.132385°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68860 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69803 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.525363922119141 y=0.532558441162109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.525363922119141 × 217)
    floor (0.525363922119141 × 131072)
    floor (68860.5)     		tx = 68860
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.532558441162109 × 217)
    floor (0.532558441162109 × 131072)
    floor (69803.5)     		ty = 69803
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68860 / 69803 ti = "17/68860/69803"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68860/69803.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68860 ÷ 217
    68860 ÷ 131072     		x = 0.525360107421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69803 ÷ 217
    69803 ÷ 131072     		y = 0.532554626464844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.525360107421875 × 2 - 1) × π
    0.05072021484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.15934225
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.532554626464844 × 2 - 1) × π
    -0.0651092529296875 × 3.1415926535     		Φ = -0.20454675067878
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.15934225} λ = 0.15934225}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.20454675067878))-π/2
    2×atan(0.81501663844577)-π/2
    2×0.68383059348646-π/2
    1.36766118697292-1.57079632675     		φ = -0.20313514
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.15934225} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.129638°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.20313514 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -11.638786°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68860 KachelY 69803 0.15934225 -0.20313514 9.129638 -11.638786
    Oben rechts KachelX + 1 68861 KachelY 69803 0.15939019 -0.20313514 9.132385 -11.638786
    Unten links KachelX 68860 KachelY + 1 69804 0.15934225 -0.20318209 9.129638 -11.641476
    Unten rechts KachelX + 1 68861 KachelY + 1 69804 0.15939019 -0.20318209 9.132385 -11.641476
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.20313514--0.20318209) × R
    4.69500000000178e-05 × 6371000     		dl = 299.118450000113m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.20313514--0.20318209) × R
    4.69500000000178e-05 × 6371000     		dr = 299.118450000113m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.15934225-0.15939019) × cos(-0.20313514) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.979438906112209 × 6371000     		do = 299.145852684089m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.15934225-0.15939019) × cos(-0.20318209) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.979429433292992 × 6371000     		du = 299.14295944127m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.20313514)-sin(-0.20318209))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.979438906112209-0.979429433292992)×R²
    abs(0.15939019-0.15934225)×9.47281921681586e-06×R²
    4.79399999999963e-05×9.47281921681586e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×9.47281921681586e-06×40589641000000     		ar = 89479.6110841127m²