Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6886 / 5354
↖ ↑ ↗
← N 52.776186°
W 28.696289°		 ← 1 478.01 m → N 52.776186°
W 28.674316°		 →
↑
1 478.26 m
↓
↑
1 478.26 m
↓
N 52.762892°
W 28.696289°		 ← 1 478.46 m →
2 185 225 m²		 N 52.762892°
W 28.674316°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6886 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5354 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.420318603515625 y=0.326812744140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.420318603515625 × 214)
    floor (0.420318603515625 × 16384)
    floor (6886.5)     		tx = 6886
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.326812744140625 × 214)
    floor (0.326812744140625 × 16384)
    floor (5354.5)     		ty = 5354
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6886 / 5354 ti = "14/6886/5354"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6886/5354.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6886 ÷ 214
    6886 ÷ 16384     		x = 0.4202880859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5354 ÷ 214
    5354 ÷ 16384     		y = 0.3267822265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4202880859375 × 2 - 1) × π
    -0.159423828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.50084473
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3267822265625 × 2 - 1) × π
    0.346435546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.08835936897375
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50084473} λ = -0.50084473}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.08835936897375))-π/2
    2×atan(2.96939838693327)-π/2
    2×1.24595726684619-π/2
    2.49191453369237-1.57079632675     		φ = 0.92111821
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50084473} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.696289°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92111821 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.776186°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6886 KachelY 5354 -0.50084473 0.92111821 -28.696289 52.776186
    Oben rechts KachelX + 1 6887 KachelY 5354 -0.50046123 0.92111821 -28.674316 52.776186
    Unten links KachelX 6886 KachelY + 1 5355 -0.50084473 0.92088618 -28.696289 52.762892
    Unten rechts KachelX + 1 6887 KachelY + 1 5355 -0.50046123 0.92088618 -28.674316 52.762892
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92111821-0.92088618) × R
    0.00023203000000005 × 6371000     		dl = 1478.26313000032m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92111821-0.92088618) × R
    0.00023203000000005 × 6371000     		dr = 1478.26313000032m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50084473--0.50046123) × cos(0.92111821) × R
    0.000383499999999981 × 0.604930128384539 × 6371000     		do = 1478.01277668411m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50084473--0.50046123) × cos(0.92088618) × R
    0.000383499999999981 × 0.605114872612289 × 6371000     		du = 1478.46415828377m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92111821)-sin(0.92088618))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.604930128384539-0.605114872612289)×R²
    abs(-0.50046123--0.50084473)×0.000184744227750389×R²
    0.000383499999999981×0.000184744227750389×6371000²
    0.000383499999999981×0.000184744227750389×40589641000000     		ar = 2185225.43363401m²