Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68858 / 72506
↖ ↑ ↗
← S 18.797118°
E  9.124145°		 ← 289.14 m → S 18.797118°
E  9.126892°		 →
↑
289.12 m
↓
↑
289.12 m
↓
S 18.799718°
E  9.124145°		 ← 289.13 m →
83 593 m²		 S 18.799718°
E  9.126892°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68858 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 72506 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.525348663330078 y=0.553180694580078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.525348663330078 × 217)
    floor (0.525348663330078 × 131072)
    floor (68858.5)     		tx = 68858
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.553180694580078 × 217)
    floor (0.553180694580078 × 131072)
    floor (72506.5)     		ty = 72506
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68858 / 72506 ti = "17/68858/72506"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68858/72506.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68858 ÷ 217
    68858 ÷ 131072     		x = 0.525344848632812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 72506 ÷ 217
    72506 ÷ 131072     		y = 0.553176879882812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.525344848632812 × 2 - 1) × π
    0.050689697265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.15924638
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.553176879882812 × 2 - 1) × π
    -0.106353759765625 × 3.1415926535     		Φ = -0.334120190351791
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.15924638} λ = 0.15924638}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.334120190351791))-π/2
    2×atan(0.71596772464297)-π/2
    2×0.621362363793097-π/2
    1.24272472758619-1.57079632675     		φ = -0.32807160
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.15924638} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.124145°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.32807160 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -18.797118°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68858 KachelY 72506 0.15924638 -0.32807160 9.124145 -18.797118
    Oben rechts KachelX + 1 68859 KachelY 72506 0.15929432 -0.32807160 9.126892 -18.797118
    Unten links KachelX 68858 KachelY + 1 72507 0.15924638 -0.32811698 9.124145 -18.799718
    Unten rechts KachelX + 1 68859 KachelY + 1 72507 0.15929432 -0.32811698 9.126892 -18.799718
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.32807160--0.32811698) × R
    4.53799999999838e-05 × 6371000     		dl = 289.115979999897m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.32807160--0.32811698) × R
    4.53799999999838e-05 × 6371000     		dr = 289.115979999897m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.15924638-0.15929432) × cos(-0.32807160) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.946665468681198 × 6371000     		do = 289.13600130438m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.15924638-0.15929432) × cos(-0.32811698) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.946650845450025 × 6371000     		du = 289.131534993177m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.32807160)-sin(-0.32811698))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.946665468681198-0.946650845450025)×R²
    abs(0.15929432-0.15924638)×1.46232311731831e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.46232311731831e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.46232311731831e-05×40589641000000     		ar = 83593.1927437924m²