Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68857 / 69833
↖ ↑ ↗
← S 11.719478°
E  9.121399°		 ← 299.06 m → S 11.719478°
E  9.124145°		 →
↑
299.05 m
↓
↑
299.05 m
↓
S 11.722167°
E  9.121399°		 ← 299.06 m →
89 435 m²		 S 11.722167°
E  9.124145°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68857 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69833 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.525341033935547 y=0.532787322998047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.525341033935547 × 217)
    floor (0.525341033935547 × 131072)
    floor (68857.5)     		tx = 68857
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.532787322998047 × 217)
    floor (0.532787322998047 × 131072)
    floor (69833.5)     		ty = 69833
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68857 / 69833 ti = "17/68857/69833"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68857/69833.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68857 ÷ 217
    68857 ÷ 131072     		x = 0.525337219238281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69833 ÷ 217
    69833 ÷ 131072     		y = 0.532783508300781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.525337219238281 × 2 - 1) × π
    0.0506744384765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.15919844
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.532783508300781 × 2 - 1) × π
    -0.0655670166015625 × 3.1415926535     		Φ = -0.205984857667381
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.15919844} λ = 0.15919844}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.205984857667381))-π/2
    2×atan(0.81384539970736)-π/2
    2×0.683126426904517-π/2
    1.36625285380903-1.57079632675     		φ = -0.20454347
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.15919844} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.121399°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.20454347 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -11.719478°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68857 KachelY 69833 0.15919844 -0.20454347 9.121399 -11.719478
    Oben rechts KachelX + 1 68858 KachelY 69833 0.15924638 -0.20454347 9.124145 -11.719478
    Unten links KachelX 68857 KachelY + 1 69834 0.15919844 -0.20459041 9.121399 -11.722167
    Unten rechts KachelX + 1 68858 KachelY + 1 69834 0.15924638 -0.20459041 9.124145 -11.722167
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.20454347--0.20459041) × R
    4.69399999999953e-05 × 6371000     		dl = 299.05473999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.20454347--0.20459041) × R
    4.69399999999953e-05 × 6371000     		dr = 299.05473999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.15919844-0.15924638) × cos(-0.20454347) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.97915381700402 × 6371000     		do = 299.058779132255m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.15919844-0.15924638) × cos(-0.20459041) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.979144281464622 × 6371000     		du = 299.055866733078m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.20454347)-sin(-0.20459041))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.97915381700402-0.979144281464622)×R²
    abs(0.15924638-0.15919844)×9.53553939808671e-06×R²
    4.79399999999963e-05×9.53553939808671e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×9.53553939808671e-06×40589641000000     		ar = 89434.5099711728m²