Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 68857 / 43415
↖ ↑ ↗
← N 51.796726°
E  9.121399°		 ← 188.89 m → N 51.796726°
E  9.124145°		 →
↑
188.90 m
↓
↑
188.90 m
↓
N 51.795027°
E  9.121399°		 ← 188.90 m →
35 682 m²		 N 51.795027°
E  9.124145°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68857 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43415 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.525341033935547 y=0.331233978271484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.525341033935547 × 217)
    floor (0.525341033935547 × 131072)
    floor (68857.5)     		tx = 68857
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.331233978271484 × 217)
    floor (0.331233978271484 × 131072)
    floor (43415.5)     		ty = 43415
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68857 / 43415 ti = "17/68857/43415"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68857/43415.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68857 ÷ 217
    68857 ÷ 131072     		x = 0.525337219238281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43415 ÷ 217
    43415 ÷ 131072     		y = 0.331230163574219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.525337219238281 × 2 - 1) × π
    0.0506744384765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.15919844
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.331230163574219 × 2 - 1) × π
    0.337539672851562 × 3.1415926535     		Φ = 1.06041215649526
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.15919844} λ = 0.15919844}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.06041215649526))-π/2
    2×atan(2.88756087101082)-π/2
    2×1.2374098676596-π/2
    2.4748197353192-1.57079632675     		φ = 0.90402341
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.15919844} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.121399°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90402341 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.796726°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68857 KachelY 43415 0.15919844 0.90402341 9.121399 51.796726
    Oben rechts KachelX + 1 68858 KachelY 43415 0.15924638 0.90402341 9.124145 51.796726
    Unten links KachelX 68857 KachelY + 1 43416 0.15919844 0.90399376 9.121399 51.795027
    Unten rechts KachelX + 1 68858 KachelY + 1 43416 0.15924638 0.90399376 9.124145 51.795027
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90402341-0.90399376) × R
    2.96499999999922e-05 × 6371000     		dl = 188.90014999995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90402341-0.90399376) × R
    2.96499999999922e-05 × 6371000     		dr = 188.90014999995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.15919844-0.15924638) × cos(0.90402341) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.618453300201396 × 6371000     		do = 188.891556869439m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.15919844-0.15924638) × cos(0.90399376) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.618476599538634 × 6371000     		du = 188.898673086757m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90402341)-sin(0.90399376))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.618453300201396-0.618476599538634)×R²
    abs(0.15924638-0.15919844)×2.3299337238547e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.3299337238547e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.3299337238547e-05×40589641000000     		ar = 35682.3155564091m²