Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 68856 / 72513
↖ ↑ ↗
← S 18.815317°
E  9.118653°		 ← 289.04 m → S 18.815317°
E  9.121399°		 →
↑
289.12 m
↓
↑
289.12 m
↓
S 18.817918°
E  9.118653°		 ← 289.04 m →
83 567 m²		 S 18.817918°
E  9.121399°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68856 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 72513 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.525333404541016 y=0.553234100341797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.525333404541016 × 217)
    floor (0.525333404541016 × 131072)
    floor (68856.5)     		tx = 68856
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.553234100341797 × 217)
    floor (0.553234100341797 × 131072)
    floor (72513.5)     		ty = 72513
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68856 / 72513 ti = "17/68856/72513"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68856/72513.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68856 ÷ 217
    68856 ÷ 131072     		x = 0.52532958984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 72513 ÷ 217
    72513 ÷ 131072     		y = 0.553230285644531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.52532958984375 × 2 - 1) × π
    0.0506591796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.15915051
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.553230285644531 × 2 - 1) × π
    -0.106460571289062 × 3.1415926535     		Φ = -0.334455748649132
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.15915051} λ = 0.15915051}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.334455748649132))-π/2
    2×atan(0.715727516036588)-π/2
    2×0.621203541655628-π/2
    1.24240708331126-1.57079632675     		φ = -0.32838924
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.15915051} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.118653°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.32838924 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -18.815317°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68856 KachelY 72513 0.15915051 -0.32838924 9.118653 -18.815317
    Oben rechts KachelX + 1 68857 KachelY 72513 0.15919844 -0.32838924 9.121399 -18.815317
    Unten links KachelX 68856 KachelY + 1 72514 0.15915051 -0.32843462 9.118653 -18.817918
    Unten rechts KachelX + 1 68857 KachelY + 1 72514 0.15919844 -0.32843462 9.121399 -18.817918
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.32838924--0.32843462) × R
    4.53799999999838e-05 × 6371000     		dl = 289.115979999897m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.32838924--0.32843462) × R
    4.53799999999838e-05 × 6371000     		dr = 289.115979999897m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.15915051-0.15919844) × cos(-0.32838924) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.946563071575333 × 6371000     		do = 289.044421059289m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.15915051-0.15919844) × cos(-0.32843462) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.946548434699291 × 6371000     		du = 289.039951513107m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.32838924)-sin(-0.32843462))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.946563071575333-0.946548434699291)×R²
    abs(0.15919844-0.15915051)×1.46368760421955e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.46368760421955e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.46368760421955e-05×40589641000000     		ar = 83566.7149638355m²