Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68856 / 69832
↖ ↑ ↗
← S 11.716789°
E  9.118653°		 ← 299 m → S 11.716789°
E  9.121399°		 →
↑
298.99 m
↓
↑
298.99 m
↓
S 11.719478°
E  9.118653°		 ← 299 m →
89 398 m²		 S 11.719478°
E  9.121399°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68856 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69832 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.525333404541016 y=0.532779693603516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.525333404541016 × 217)
    floor (0.525333404541016 × 131072)
    floor (68856.5)     		tx = 68856
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.532779693603516 × 217)
    floor (0.532779693603516 × 131072)
    floor (69832.5)     		ty = 69832
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68856 / 69832 ti = "17/68856/69832"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68856/69832.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68856 ÷ 217
    68856 ÷ 131072     		x = 0.52532958984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69832 ÷ 217
    69832 ÷ 131072     		y = 0.53277587890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.52532958984375 × 2 - 1) × π
    0.0506591796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.15915051
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.53277587890625 × 2 - 1) × π
    -0.0655517578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.205936920767761
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.15915051} λ = 0.15915051}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.205936920767761))-π/2
    2×atan(0.813884413867694)-π/2
    2×0.683149895817871-π/2
    1.36629979163574-1.57079632675     		φ = -0.20449654
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.15915051} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.118653°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.20449654 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -11.716789°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68856 KachelY 69832 0.15915051 -0.20449654 9.118653 -11.716789
    Oben rechts KachelX + 1 68857 KachelY 69832 0.15919844 -0.20449654 9.121399 -11.716789
    Unten links KachelX 68856 KachelY + 1 69833 0.15915051 -0.20454347 9.118653 -11.719478
    Unten rechts KachelX + 1 68857 KachelY + 1 69833 0.15919844 -0.20454347 9.121399 -11.719478
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.20449654--0.20454347) × R
    4.69300000000006e-05 × 6371000     		dl = 298.991030000004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.20449654--0.20454347) × R
    4.69300000000006e-05 × 6371000     		dr = 298.991030000004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.15915051-0.15919844) × cos(-0.20449654) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.979163348355245 × 6371000     		do = 298.999307755365m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.15915051-0.15919844) × cos(-0.20454347) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.97915381700402 × 6371000     		du = 298.996397242606m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.20449654)-sin(-0.20454347))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.979163348355245-0.97915381700402)×R²
    abs(0.15919844-0.15915051)×9.53135122416793e-06×R²
    4.79300000000016e-05×9.53135122416793e-06×6371000²
    4.79300000000016e-05×9.53135122416793e-06×40589641000000     		ar = 89397.6759028699m²