Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68855 / 72512
↖ ↑ ↗
← S 18.812718°
E  9.115906°		 ← 289.11 m → S 18.812718°
E  9.118653°		 →
↑
289.05 m
↓
↑
289.05 m
↓
S 18.815317°
E  9.115906°		 ← 289.10 m →
83 567 m²		 S 18.815317°
E  9.118653°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68855 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 72512 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.525325775146484 y=0.553226470947266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.525325775146484 × 217)
    floor (0.525325775146484 × 131072)
    floor (68855.5)     		tx = 68855
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.553226470947266 × 217)
    floor (0.553226470947266 × 131072)
    floor (72512.5)     		ty = 72512
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68855 / 72512 ti = "17/68855/72512"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68855/72512.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68855 ÷ 217
    68855 ÷ 131072     		x = 0.525321960449219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 72512 ÷ 217
    72512 ÷ 131072     		y = 0.55322265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.525321960449219 × 2 - 1) × π
    0.0506439208984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.15910257
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.55322265625 × 2 - 1) × π
    -0.1064453125 × 3.1415926535     		Φ = -0.334407811749512
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.15910257} λ = 0.15910257}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.334407811749512))-π/2
    2×atan(0.715761826617044)-π/2
    2×0.621226229480449-π/2
    1.2424524589609-1.57079632675     		φ = -0.32834387
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.15910257} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.115906°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.32834387 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -18.812718°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68855 KachelY 72512 0.15910257 -0.32834387 9.115906 -18.812718
    Oben rechts KachelX + 1 68856 KachelY 72512 0.15915051 -0.32834387 9.118653 -18.812718
    Unten links KachelX 68855 KachelY + 1 72513 0.15910257 -0.32838924 9.115906 -18.815317
    Unten rechts KachelX + 1 68856 KachelY + 1 72513 0.15915051 -0.32838924 9.118653 -18.815317
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.32834387--0.32838924) × R
    4.53700000000445e-05 × 6371000     		dl = 289.052270000284m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.32834387--0.32838924) × R
    4.53700000000445e-05 × 6371000     		dr = 289.052270000284m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.15910257-0.15915051) × cos(-0.32834387) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.946577703277318 × 6371000     		do = 289.109195490953m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.15910257-0.15915051) × cos(-0.32838924) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.946563071575333 × 6371000     		du = 289.104726592547m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.32834387)-sin(-0.32838924))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.946577703277318-0.946563071575333)×R²
    abs(0.15915051-0.15910257)×1.46317019847908e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.46317019847908e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.46317019847908e-05×40589641000000     		ar = 83567.0233762831m²