Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68854 / 72460
↖ ↑ ↗
← S 18.677471°
E  9.113159°		 ← 289.34 m → S 18.677471°
E  9.115906°		 →
↑
289.31 m
↓
↑
289.31 m
↓
S 18.680073°
E  9.113159°		 ← 289.34 m →
83 708 m²		 S 18.680073°
E  9.115906°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68854 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 72460 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.525318145751953 y=0.552829742431641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.525318145751953 × 217)
    floor (0.525318145751953 × 131072)
    floor (68854.5)     		tx = 68854
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.552829742431641 × 217)
    floor (0.552829742431641 × 131072)
    floor (72460.5)     		ty = 72460
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68854 / 72460 ti = "17/68854/72460"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68854/72460.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68854 ÷ 217
    68854 ÷ 131072     		x = 0.525314331054688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 72460 ÷ 217
    72460 ÷ 131072     		y = 0.552825927734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.525314331054688 × 2 - 1) × π
    0.050628662109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.15905463
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.552825927734375 × 2 - 1) × π
    -0.10565185546875 × 3.1415926535     		Φ = -0.331915092969269
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.15905463} λ = 0.15905463}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.331915092969269))-π/2
    2×atan(0.717548245158944)-π/2
    2×0.622406478697997-π/2
    1.24481295739599-1.57079632675     		φ = -0.32598337
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.15905463} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.113159°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.32598337 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -18.677471°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68854 KachelY 72460 0.15905463 -0.32598337 9.113159 -18.677471
    Oben rechts KachelX + 1 68855 KachelY 72460 0.15910257 -0.32598337 9.115906 -18.677471
    Unten links KachelX 68854 KachelY + 1 72461 0.15905463 -0.32602878 9.113159 -18.680073
    Unten rechts KachelX + 1 68855 KachelY + 1 72461 0.15910257 -0.32602878 9.115906 -18.680073
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.32598337--0.32602878) × R
    4.54100000000235e-05 × 6371000     		dl = 289.30711000015m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.32598337--0.32602878) × R
    4.54100000000235e-05 × 6371000     		dr = 289.30711000015m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.15905463-0.15910257) × cos(-0.32598337) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.94733626958774 × 6371000     		do = 289.340881167653m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.15905463-0.15910257) × cos(-0.32602878) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.947321726488877 × 6371000     		du = 289.336439330921m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.32598337)-sin(-0.32602878))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.94733626958774-0.947321726488877)×R²
    abs(0.15910257-0.15905463)×1.45430988627293e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.45430988627293e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.45430988627293e-05×40589641000000     		ar = 83707.7316224383m²