Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68854 / 64820
↖ ↑ ↗
← N  1.966167°
E  9.113159°		 ← 305.25 m → N  1.966167°
E  9.115906°		 →
↑
305.23 m
↓
↑
305.23 m
↓
N  1.963422°
E  9.113159°		 ← 305.25 m →
93 172 m²		 N  1.963422°
E  9.115906°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68854 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 64820 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.525318145751953 y=0.494541168212891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.525318145751953 × 217)
    floor (0.525318145751953 × 131072)
    floor (68854.5)     		tx = 68854
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.494541168212891 × 217)
    floor (0.494541168212891 × 131072)
    floor (64820.5)     		ty = 64820
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68854 / 64820 ti = "17/68854/64820"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68854/64820.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68854 ÷ 217
    68854 ÷ 131072     		x = 0.525314331054688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 64820 ÷ 217
    64820 ÷ 131072     		y = 0.494537353515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.525314331054688 × 2 - 1) × π
    0.050628662109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.15905463
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.494537353515625 × 2 - 1) × π
    0.01092529296875 × 3.1415926535     		Φ = 0.0343228201279602
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.15905463} λ = 0.15905463}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0343228201279602))-π/2
    2×atan(1.03491864537755)-π/2
    2×0.802556204936496-π/2
    1.60511240987299-1.57079632675     		φ = 0.03431608
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.15905463} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.113159°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.03431608 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 1.966167°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68854 KachelY 64820 0.15905463 0.03431608 9.113159 1.966167
    Oben rechts KachelX + 1 68855 KachelY 64820 0.15910257 0.03431608 9.115906 1.966167
    Unten links KachelX 68854 KachelY + 1 64821 0.15905463 0.03426817 9.113159 1.963422
    Unten rechts KachelX + 1 68855 KachelY + 1 64821 0.15910257 0.03426817 9.115906 1.963422
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.03431608-0.03426817) × R
    4.79099999999982e-05 × 6371000     		dl = 305.234609999989m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.03431608-0.03426817) × R
    4.79099999999982e-05 × 6371000     		dr = 305.234609999989m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.15905463-0.15910257) × cos(0.03431608) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.999411261104703 × 6371000     		do = 305.245923987214m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.15905463-0.15910257) × cos(0.03426817) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.999412903718428 × 6371000     		du = 305.246425683726m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.03431608)-sin(0.03426817))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999411261104703-0.999412903718428)×R²
    abs(0.15910257-0.15905463)×1.64261372581631e-06×R²
    4.79399999999963e-05×1.64261372581631e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.64261372581631e-06×40589641000000     		ar = 93171.6971477161m²