Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 68854 / 44500
↖ ↑ ↗
← N 49.915862°
E  9.113159°		 ← 196.67 m → N 49.915862°
E  9.115906°		 →
↑
196.67 m
↓
↑
196.67 m
↓
N 49.914093°
E  9.113159°		 ← 196.67 m →
38 680 m²		 N 49.914093°
E  9.115906°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68854 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44500 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.525318145751953 y=0.339511871337891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.525318145751953 × 217)
    floor (0.525318145751953 × 131072)
    floor (68854.5)     		tx = 68854
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.339511871337891 × 217)
    floor (0.339511871337891 × 131072)
    floor (44500.5)     		ty = 44500
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68854 / 44500 ti = "17/68854/44500"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68854/44500.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68854 ÷ 217
    68854 ÷ 131072     		x = 0.525314331054688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44500 ÷ 217
    44500 ÷ 131072     		y = 0.339508056640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.525314331054688 × 2 - 1) × π
    0.050628662109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.15905463
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.339508056640625 × 2 - 1) × π
    0.32098388671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.0084006204075
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.15905463} λ = 0.15905463}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.0084006204075))-π/2
    2×atan(2.74121326655735)-π/2
    2×1.22099623161237-π/2
    2.44199246322475-1.57079632675     		φ = 0.87119614
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.15905463} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.113159°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87119614 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.915862°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68854 KachelY 44500 0.15905463 0.87119614 9.113159 49.915862
    Oben rechts KachelX + 1 68855 KachelY 44500 0.15910257 0.87119614 9.115906 49.915862
    Unten links KachelX 68854 KachelY + 1 44501 0.15905463 0.87116527 9.113159 49.914093
    Unten rechts KachelX + 1 68855 KachelY + 1 44501 0.15910257 0.87116527 9.115906 49.914093
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87119614-0.87116527) × R
    3.08700000000162e-05 × 6371000     		dl = 196.672770000103m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87119614-0.87116527) × R
    3.08700000000162e-05 × 6371000     		dr = 196.672770000103m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.15905463-0.15910257) × cos(0.87119614) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.643911841750251 × 6371000     		do = 196.667250761318m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.15905463-0.15910257) × cos(0.87116527) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.643935460070956 × 6371000     		du = 196.674464404397m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87119614)-sin(0.87116527))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.643911841750251-0.643935460070956)×R²
    abs(0.15910257-0.15905463)×2.36183207055207e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.36183207055207e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.36183207055207e-05×40589641000000     		ar = 38679.8023421989m²