Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68852 / 43466
↖ ↑ ↗
← N 51.710012°
E  9.107666°		 ← 189.25 m → N 51.710012°
E  9.110413°		 →
↑
189.22 m
↓
↑
189.22 m
↓
N 51.708311°
E  9.107666°		 ← 189.26 m →
35 811 m²		 N 51.708311°
E  9.110413°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68852 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43466 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.525302886962891 y=0.331623077392578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.525302886962891 × 217)
    floor (0.525302886962891 × 131072)
    floor (68852.5)     		tx = 68852
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.331623077392578 × 217)
    floor (0.331623077392578 × 131072)
    floor (43466.5)     		ty = 43466
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68852 / 43466 ti = "17/68852/43466"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68852/43466.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68852 ÷ 217
    68852 ÷ 131072     		x = 0.525299072265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43466 ÷ 217
    43466 ÷ 131072     		y = 0.331619262695312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.525299072265625 × 2 - 1) × π
    0.05059814453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.15895876
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.331619262695312 × 2 - 1) × π
    0.336761474609375 × 3.1415926535     		Φ = 1.05796737461464
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.15895876} λ = 0.15895876}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.05796737461464))-π/2
    2×atan(2.88051003690179)-π/2
    2×1.23665314957909-π/2
    2.47330629915819-1.57079632675     		φ = 0.90250997
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.15895876} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.107666°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90250997 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.710012°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68852 KachelY 43466 0.15895876 0.90250997 9.107666 51.710012
    Oben rechts KachelX + 1 68853 KachelY 43466 0.15900670 0.90250997 9.110413 51.710012
    Unten links KachelX 68852 KachelY + 1 43467 0.15895876 0.90248027 9.107666 51.708311
    Unten rechts KachelX + 1 68853 KachelY + 1 43467 0.15900670 0.90248027 9.110413 51.708311
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90250997-0.90248027) × R
    2.97000000000214e-05 × 6371000     		dl = 189.218700000136m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90250997-0.90248027) × R
    2.97000000000214e-05 × 6371000     		dr = 189.218700000136m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.15895876-0.15900670) × cos(0.90250997) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.619641885237077 × 6371000     		do = 189.254581333515m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.15895876-0.15900670) × cos(0.90248027) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.619665196038272 × 6371000     		du = 189.26170105222m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90250997)-sin(0.90248027))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.619641885237077-0.619665196038272)×R²
    abs(0.15900670-0.15895876)×2.33108011948868e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.33108011948868e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.33108011948868e-05×40589641000000     		ar = 35811.1794435125m²