Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68851 / 72457
↖ ↑ ↗
← S 18.669665°
E  9.104919°		 ← 289.35 m → S 18.669665°
E  9.107666°		 →
↑
289.31 m
↓
↑
289.31 m
↓
S 18.672267°
E  9.104919°		 ← 289.35 m →
83 712 m²		 S 18.672267°
E  9.107666°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68851 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 72457 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.525295257568359 y=0.552806854248047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.525295257568359 × 217)
    floor (0.525295257568359 × 131072)
    floor (68851.5)     		tx = 68851
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.552806854248047 × 217)
    floor (0.552806854248047 × 131072)
    floor (72457.5)     		ty = 72457
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68851 / 72457 ti = "17/68851/72457"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68851/72457.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68851 ÷ 217
    68851 ÷ 131072     		x = 0.525291442871094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 72457 ÷ 217
    72457 ÷ 131072     		y = 0.552803039550781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.525291442871094 × 2 - 1) × π
    0.0505828857421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.15891082
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.552803039550781 × 2 - 1) × π
    -0.105606079101562 × 3.1415926535     		Φ = -0.331771282270409
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.15891082} λ = 0.15891082}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.331771282270409))-π/2
    2×atan(0.717651443693895)-π/2
    2×0.622474598811883-π/2
    1.24494919762377-1.57079632675     		φ = -0.32584713
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.15891082} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.104919°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.32584713 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -18.669665°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68851 KachelY 72457 0.15891082 -0.32584713 9.104919 -18.669665
    Oben rechts KachelX + 1 68852 KachelY 72457 0.15895876 -0.32584713 9.107666 -18.669665
    Unten links KachelX 68851 KachelY + 1 72458 0.15891082 -0.32589254 9.104919 -18.672267
    Unten rechts KachelX + 1 68852 KachelY + 1 72458 0.15895876 -0.32589254 9.107666 -18.672267
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.32584713--0.32589254) × R
    4.54100000000235e-05 × 6371000     		dl = 289.30711000015m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.32584713--0.32589254) × R
    4.54100000000235e-05 × 6371000     		dr = 289.30711000015m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.15891082-0.15895876) × cos(-0.32584713) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.947379890364492 × 6371000     		do = 289.354204075672m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.15891082-0.15895876) × cos(-0.32589254) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.947365353126565 × 6371000     		du = 289.34976402902m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.32584713)-sin(-0.32589254))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.947379890364492-0.947365353126565)×R²
    abs(0.15895876-0.15891082)×1.45372379269926e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.45372379269926e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.45372379269926e-05×40589641000000     		ar = 83711.5862933338m²