Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68851 / 72454
↖ ↑ ↗
← S 18.661859°
E  9.104919°		 ← 289.37 m → S 18.661859°
E  9.107666°		 →
↑
289.37 m
↓
↑
289.37 m
↓
S 18.664461°
E  9.104919°		 ← 289.36 m →
83 734 m²		 S 18.664461°
E  9.107666°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68851 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 72454 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.525295257568359 y=0.552783966064453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.525295257568359 × 217)
    floor (0.525295257568359 × 131072)
    floor (68851.5)     		tx = 68851
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.552783966064453 × 217)
    floor (0.552783966064453 × 131072)
    floor (72454.5)     		ty = 72454
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68851 / 72454 ti = "17/68851/72454"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68851/72454.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68851 ÷ 217
    68851 ÷ 131072     		x = 0.525291442871094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 72454 ÷ 217
    72454 ÷ 131072     		y = 0.552780151367188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.525291442871094 × 2 - 1) × π
    0.0505828857421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.15891082
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.552780151367188 × 2 - 1) × π
    -0.105560302734375 × 3.1415926535     		Φ = -0.331627471571548
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.15891082} λ = 0.15891082}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.331627471571548))-π/2
    2×atan(0.717754657070966)-π/2
    2×0.622542722061782-π/2
    1.24508544412356-1.57079632675     		φ = -0.32571088
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.15891082} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.104919°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.32571088 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -18.661859°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68851 KachelY 72454 0.15891082 -0.32571088 9.104919 -18.661859
    Oben rechts KachelX + 1 68852 KachelY 72454 0.15895876 -0.32571088 9.107666 -18.661859
    Unten links KachelX 68851 KachelY + 1 72455 0.15891082 -0.32575630 9.104919 -18.664461
    Unten rechts KachelX + 1 68852 KachelY + 1 72455 0.15895876 -0.32575630 9.107666 -18.664461
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.32571088--0.32575630) × R
    4.54200000000182e-05 × 6371000     		dl = 289.370820000116m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.32571088--0.32575630) × R
    4.54200000000182e-05 × 6371000     		dr = 289.370820000116m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.15891082-0.15895876) × cos(-0.32571088) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.947423496756429 × 6371000     		do = 289.367522590198m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.15891082-0.15895876) × cos(-0.32575630) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.947408962179884 × 6371000     		du = 289.363083356401m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.32571088)-sin(-0.32575630))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.947423496756429-0.947408962179884)×R²
    abs(0.15895876-0.15891082)×1.45345765449889e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.45345765449889e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.45345765449889e-05×40589641000000     		ar = 83733.8750153421m²