Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6885 / 5353
↖ ↑ ↗
← N 52.789476°
W 28.718262°		 ← 1 477.52 m → N 52.789476°
W 28.696289°		 →
↑
1 477.75 m
↓
↑
1 477.75 m
↓
N 52.776186°
W 28.718262°		 ← 1 477.97 m →
2 183 748 m²		 N 52.776186°
W 28.696289°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6885 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5353 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.420257568359375 y=0.326751708984375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.420257568359375 × 214)
    floor (0.420257568359375 × 16384)
    floor (6885.5)     		tx = 6885
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.326751708984375 × 214)
    floor (0.326751708984375 × 16384)
    floor (5353.5)     		ty = 5353
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6885 / 5353 ti = "14/6885/5353"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6885/5353.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6885 ÷ 214
    6885 ÷ 16384     		x = 0.42022705078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5353 ÷ 214
    5353 ÷ 16384     		y = 0.32672119140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.42022705078125 × 2 - 1) × π
    -0.1595458984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.50122822
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.32672119140625 × 2 - 1) × π
    0.3465576171875 × 3.1415926535     		Φ = 1.08874286417072
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50122822} λ = -0.50122822}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.08874286417072))-π/2
    2×atan(2.97053735533301)-π/2
    2×1.24607324303632-π/2
    2.49214648607264-1.57079632675     		φ = 0.92135016
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50122822} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.718262°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92135016 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.789476°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6885 KachelY 5353 -0.50122822 0.92135016 -28.718262 52.789476
    Oben rechts KachelX + 1 6886 KachelY 5353 -0.50084473 0.92135016 -28.696289 52.789476
    Unten links KachelX 6885 KachelY + 1 5354 -0.50122822 0.92111821 -28.718262 52.776186
    Unten rechts KachelX + 1 6886 KachelY + 1 5354 -0.50084473 0.92111821 -28.696289 52.776186
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92135016-0.92111821) × R
    0.000231949999999981 × 6371000     		dl = 1477.75344999988m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92135016-0.92111821) × R
    0.000231949999999981 × 6371000     		dr = 1477.75344999988m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50122822--0.50084473) × cos(0.92135016) × R
    0.000383490000000042 × 0.604745415302118 × 6371000     		do = 1477.52294285099m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50122822--0.50084473) × cos(0.92111821) × R
    0.000383490000000042 × 0.604930128384539 × 6371000     		du = 1477.97423658587m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92135016)-sin(0.92111821))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.604745415302118-0.604930128384539)×R²
    abs(-0.50084473--0.50122822)×0.00018471308242074×R²
    0.000383490000000042×0.00018471308242074×6371000²
    0.000383490000000042×0.00018471308242074×40589641000000     		ar = 2183748.08647886m²