Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68849 / 44514
↖ ↑ ↗
← N 49.891096°
E  9.099426°		 ← 196.77 m → N 49.891096°
E  9.102173°		 →
↑
196.80 m
↓
↑
196.80 m
↓
N 49.889326°
E  9.099426°		 ← 196.78 m →
38 725 m²		 N 49.889326°
E  9.102173°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68849 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44514 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.525279998779297 y=0.339618682861328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.525279998779297 × 217)
    floor (0.525279998779297 × 131072)
    floor (68849.5)     		tx = 68849
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.339618682861328 × 217)
    floor (0.339618682861328 × 131072)
    floor (44514.5)     		ty = 44514
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68849 / 44514 ti = "17/68849/44514"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68849/44514.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68849 ÷ 217
    68849 ÷ 131072     		x = 0.525276184082031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44514 ÷ 217
    44514 ÷ 131072     		y = 0.339614868164062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.525276184082031 × 2 - 1) × π
    0.0505523681640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.15881495
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.339614868164062 × 2 - 1) × π
    0.320770263671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.00772950381282
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.15881495} λ = 0.15881495}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.00772950381282))-π/2
    2×atan(2.73937421002431)-π/2
    2×1.2207801061746-π/2
    2.44156021234919-1.57079632675     		φ = 0.87076389
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.15881495} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.099426°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87076389 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.891096°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68849 KachelY 44514 0.15881495 0.87076389 9.099426 49.891096
    Oben rechts KachelX + 1 68850 KachelY 44514 0.15886289 0.87076389 9.102173 49.891096
    Unten links KachelX 68849 KachelY + 1 44515 0.15881495 0.87073300 9.099426 49.889326
    Unten rechts KachelX + 1 68850 KachelY + 1 44515 0.15886289 0.87073300 9.102173 49.889326
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87076389-0.87073300) × R
    3.08900000000056e-05 × 6371000     		dl = 196.800190000036m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87076389-0.87073300) × R
    3.08900000000056e-05 × 6371000     		dr = 196.800190000036m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.15881495-0.15886289) × cos(0.87076389) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.644242495927938 × 6371000     		do = 196.768241058222m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.15881495-0.15886289) × cos(0.87073300) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.644266120950234 × 6371000     		du = 196.775456748139m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87076389)-sin(0.87073300))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.644242495927938-0.644266120950234)×R²
    abs(0.15886289-0.15881495)×2.36250222950263e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.36250222950263e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.36250222950263e-05×40589641000000     		ar = 38724.7372538282m²