Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 68846 / 64786
↖ ↑ ↗
← N  2.059493°
E  9.091187°		 ← 305.16 m → N  2.059493°
E  9.093933°		 →
↑
305.17 m
↓
↑
305.17 m
↓
N  2.056748°
E  9.091187°		 ← 305.17 m →
93 127 m²		 N  2.056748°
E  9.093933°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68846 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 64786 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.525257110595703 y=0.494281768798828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.525257110595703 × 217)
    floor (0.525257110595703 × 131072)
    floor (68846.5)     		tx = 68846
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.494281768798828 × 217)
    floor (0.494281768798828 × 131072)
    floor (64786.5)     		ty = 64786
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68846 / 64786 ti = "17/68846/64786"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68846/64786.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68846 ÷ 217
    68846 ÷ 131072     		x = 0.525253295898438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 64786 ÷ 217
    64786 ÷ 131072     		y = 0.494277954101562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.525253295898438 × 2 - 1) × π
    0.050506591796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.15867114
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.494277954101562 × 2 - 1) × π
    0.011444091796875 × 3.1415926535     		Φ = 0.0359526747150421
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.15867114} λ = 0.15867114}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0359526747150421))-π/2
    2×atan(1.03660678761846)-π/2
    2×0.803370629319197-π/2
    1.60674125863839-1.57079632675     		φ = 0.03594493
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.15867114} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.091187°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.03594493 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 2.059493°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68846 KachelY 64786 0.15867114 0.03594493 9.091187 2.059493
    Oben rechts KachelX + 1 68847 KachelY 64786 0.15871907 0.03594493 9.093933 2.059493
    Unten links KachelX 68846 KachelY + 1 64787 0.15867114 0.03589703 9.091187 2.056748
    Unten rechts KachelX + 1 68847 KachelY + 1 64787 0.15871907 0.03589703 9.093933 2.056748
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.03594493-0.03589703) × R
    4.78999999999966e-05 × 6371000     		dl = 305.170899999978m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.03594493-0.03589703) × R
    4.78999999999966e-05 × 6371000     		dr = 305.170899999978m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.15867114-0.15871907) × cos(0.03594493) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.999354050557409 × 6371000     		do = 305.164781566943m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.15867114-0.15871907) × cos(0.03589703) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.999355770802352 × 6371000     		du = 305.165306864431m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.03594493)-sin(0.03589703))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999354050557409-0.999355770802352)×R²
    abs(0.15871907-0.15867114)×1.72024494260459e-06×R²
    4.79300000000016e-05×1.72024494260459e-06×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.72024494260459e-06×40589641000000     		ar = 93127.4912096329m²