Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68846 / 44531
↖ ↑ ↗
← N 49.861005°
E  9.091187°		 ← 196.85 m → N 49.861005°
E  9.093933°		 →
↑
196.86 m
↓
↑
196.86 m
↓
N 49.859235°
E  9.091187°		 ← 196.86 m →
38 753 m²		 N 49.859235°
E  9.093933°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68846 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44531 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.525257110595703 y=0.339748382568359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.525257110595703 × 217)
    floor (0.525257110595703 × 131072)
    floor (68846.5)     		tx = 68846
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.339748382568359 × 217)
    floor (0.339748382568359 × 131072)
    floor (44531.5)     		ty = 44531
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68846 / 44531 ti = "17/68846/44531"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68846/44531.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68846 ÷ 217
    68846 ÷ 131072     		x = 0.525253295898438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44531 ÷ 217
    44531 ÷ 131072     		y = 0.339744567871094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.525253295898438 × 2 - 1) × π
    0.050506591796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.15867114
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.339744567871094 × 2 - 1) × π
    0.320510864257812 × 3.1415926535     		Φ = 1.00691457651928
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.15867114} λ = 0.15867114}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.00691457651928))-π/2
    2×atan(2.7371427285844)-π/2
    2×1.22051751896512-π/2
    2.44103503793025-1.57079632675     		φ = 0.87023871
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.15867114} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.091187°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87023871 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.861005°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68846 KachelY 44531 0.15867114 0.87023871 9.091187 49.861005
    Oben rechts KachelX + 1 68847 KachelY 44531 0.15871907 0.87023871 9.093933 49.861005
    Unten links KachelX 68846 KachelY + 1 44532 0.15867114 0.87020781 9.091187 49.859235
    Unten rechts KachelX + 1 68847 KachelY + 1 44532 0.15871907 0.87020781 9.093933 49.859235
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87023871-0.87020781) × R
    3.08999999999449e-05 × 6371000     		dl = 196.863899999649m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87023871-0.87020781) × R
    3.08999999999449e-05 × 6371000     		dr = 196.863899999649m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.15867114-0.15871907) × cos(0.87023871) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.644644075909274 × 6371000     		do = 196.849823647137m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.15867114-0.15871907) × cos(0.87020781) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.644667698121325 × 6371000     		du = 196.857036973762m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87023871)-sin(0.87020781))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.644644075909274-0.644667698121325)×R²
    abs(0.15871907-0.15867114)×2.36222120512108e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.36222120512108e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.36222120512108e-05×40589641000000     		ar = 38753.3340222657m²