Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68838 / 43942
↖ ↑ ↗
← N 50.892639°
E  9.069214°		 ← 192.66 m → N 50.892639°
E  9.071960°		 →
↑
192.66 m
↓
↑
192.66 m
↓
N 50.890907°
E  9.069214°		 ← 192.66 m →
37 117 m²		 N 50.890907°
E  9.071960°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68838 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43942 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.525196075439453 y=0.335254669189453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.525196075439453 × 217)
    floor (0.525196075439453 × 131072)
    floor (68838.5)     		tx = 68838
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.335254669189453 × 217)
    floor (0.335254669189453 × 131072)
    floor (43942.5)     		ty = 43942
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68838 / 43942 ti = "17/68838/43942"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68838/43942.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68838 ÷ 217
    68838 ÷ 131072     		x = 0.525192260742188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43942 ÷ 217
    43942 ÷ 131072     		y = 0.335250854492188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.525192260742188 × 2 - 1) × π
    0.050384521484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.15828764
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.335250854492188 × 2 - 1) × π
    0.329498291015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.03514941039549
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.15828764} λ = 0.15828764}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.03514941039549))-π/2
    2×atan(2.81552687318311)-π/2
    2×1.22952022232171-π/2
    2.45904044464342-1.57079632675     		φ = 0.88824412
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.15828764} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.069214°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88824412 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.892639°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68838 KachelY 43942 0.15828764 0.88824412 9.069214 50.892639
    Oben rechts KachelX + 1 68839 KachelY 43942 0.15833558 0.88824412 9.071960 50.892639
    Unten links KachelX 68838 KachelY + 1 43943 0.15828764 0.88821388 9.069214 50.890907
    Unten rechts KachelX + 1 68839 KachelY + 1 43943 0.15833558 0.88821388 9.071960 50.890907
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88824412-0.88821388) × R
    3.02399999999592e-05 × 6371000     		dl = 192.65903999974m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88824412-0.88821388) × R
    3.02399999999592e-05 × 6371000     		dr = 192.65903999974m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.15828764-0.15833558) × cos(0.88824412) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.630775500338174 × 6371000     		do = 192.655073964642m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.15828764-0.15833558) × cos(0.88821388) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.630798965242799 × 6371000     		du = 192.662240750501m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88824412)-sin(0.88821388))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.630775500338174-0.630798965242799)×R²
    abs(0.15833558-0.15828764)×2.34649046246815e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.34649046246815e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.34649046246815e-05×40589641000000     		ar = 37117.4319769942m²