Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68838 / 43450
↖ ↑ ↗
← N 51.737235°
E  9.069214°		 ← 189.14 m → N 51.737235°
E  9.071960°		 →
↑
189.15 m
↓
↑
189.15 m
↓
N 51.735534°
E  9.069214°		 ← 189.15 m →
35 778 m²		 N 51.735534°
E  9.071960°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68838 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43450 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.525196075439453 y=0.331501007080078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.525196075439453 × 217)
    floor (0.525196075439453 × 131072)
    floor (68838.5)     		tx = 68838
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.331501007080078 × 217)
    floor (0.331501007080078 × 131072)
    floor (43450.5)     		ty = 43450
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68838 / 43450 ti = "17/68838/43450"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68838/43450.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68838 ÷ 217
    68838 ÷ 131072     		x = 0.525192260742188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43450 ÷ 217
    43450 ÷ 131072     		y = 0.331497192382812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.525192260742188 × 2 - 1) × π
    0.050384521484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.15828764
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.331497192382812 × 2 - 1) × π
    0.337005615234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.05873436500856
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.15828764} λ = 0.15828764}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.05873436500856))-π/2
    2×atan(2.88272020791131)-π/2
    2×1.2368907077442-π/2
    2.4737814154884-1.57079632675     		φ = 0.90298509
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.15828764} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.069214°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90298509 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.737235°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68838 KachelY 43450 0.15828764 0.90298509 9.069214 51.737235
    Oben rechts KachelX + 1 68839 KachelY 43450 0.15833558 0.90298509 9.071960 51.737235
    Unten links KachelX 68838 KachelY + 1 43451 0.15828764 0.90295540 9.069214 51.735534
    Unten rechts KachelX + 1 68839 KachelY + 1 43451 0.15833558 0.90295540 9.071960 51.735534
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90298509-0.90295540) × R
    2.96900000000822e-05 × 6371000     		dl = 189.154990000523m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90298509-0.90295540) × R
    2.96900000000822e-05 × 6371000     		dr = 189.154990000523m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.15828764-0.15833558) × cos(0.90298509) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.619268900911396 × 6371000     		do = 189.140662319835m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.15828764-0.15833558) × cos(0.90295540) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.619292212602325 × 6371000     		du = 189.147782310288m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90298509)-sin(0.90295540))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.619268900911396-0.619292212602325)×R²
    abs(0.15833558-0.15828764)×2.33116909282849e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.33116909282849e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.33116909282849e-05×40589641000000     		ar = 35777.5734832858m²