Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68836 / 44220
↖ ↑ ↗
← N 50.408517°
E  9.063721°		 ← 194.65 m → N 50.408517°
E  9.066468°		 →
↑
194.63 m
↓
↑
194.63 m
↓
N 50.406767°
E  9.063721°		 ← 194.66 m →
37 886 m²		 N 50.406767°
E  9.066468°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68836 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44220 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.525180816650391 y=0.337375640869141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.525180816650391 × 217)
    floor (0.525180816650391 × 131072)
    floor (68836.5)     		tx = 68836
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.337375640869141 × 217)
    floor (0.337375640869141 × 131072)
    floor (44220.5)     		ty = 44220
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68836 / 44220 ti = "17/68836/44220"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68836/44220.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68836 ÷ 217
    68836 ÷ 131072     		x = 0.525177001953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44220 ÷ 217
    44220 ÷ 131072     		y = 0.337371826171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.525177001953125 × 2 - 1) × π
    0.05035400390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.15819177
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.337371826171875 × 2 - 1) × π
    0.32525634765625 × 3.1415926535     		Φ = 1.02182295230112
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.15819177} λ = 0.15819177}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.02182295230112))-π/2
    2×atan(2.77825477642012)-π/2
    2×1.22529546436812-π/2
    2.45059092873623-1.57079632675     		φ = 0.87979460
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.15819177} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.063721°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87979460 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.408517°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68836 KachelY 44220 0.15819177 0.87979460 9.063721 50.408517
    Oben rechts KachelX + 1 68837 KachelY 44220 0.15823971 0.87979460 9.066468 50.408517
    Unten links KachelX 68836 KachelY + 1 44221 0.15819177 0.87976405 9.063721 50.406767
    Unten rechts KachelX + 1 68837 KachelY + 1 44221 0.15823971 0.87976405 9.066468 50.406767
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87979460-0.87976405) × R
    3.05499999999626e-05 × 6371000     		dl = 194.634049999761m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87979460-0.87976405) × R
    3.05499999999626e-05 × 6371000     		dr = 194.634049999761m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.15819177-0.15823971) × cos(0.87979460) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.637309440522757 × 6371000     		do = 194.650707480634m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.15819177-0.15823971) × cos(0.87976405) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.637332982299502 × 6371000     		du = 194.657897745217m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87979460)-sin(0.87976405))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.637309440522757-0.637332982299502)×R²
    abs(0.15823971-0.15819177)×2.35417767444623e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.35417767444623e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.35417767444623e-05×40589641000000     		ar = 37886.3552703228m²