Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68835 / 43491
↖ ↑ ↗
← N 51.667445°
E  9.060974°		 ← 189.43 m → N 51.667445°
E  9.063721°		 →
↑
189.41 m
↓
↑
189.41 m
↓
N 51.665742°
E  9.060974°		 ← 189.44 m →
35 881 m²		 N 51.665742°
E  9.063721°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68835 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43491 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.525173187255859 y=0.331813812255859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.525173187255859 × 217)
    floor (0.525173187255859 × 131072)
    floor (68835.5)     		tx = 68835
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.331813812255859 × 217)
    floor (0.331813812255859 × 131072)
    floor (43491.5)     		ty = 43491
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68835 / 43491 ti = "17/68835/43491"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68835/43491.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68835 ÷ 217
    68835 ÷ 131072     		x = 0.525169372558594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43491 ÷ 217
    43491 ÷ 131072     		y = 0.331809997558594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.525169372558594 × 2 - 1) × π
    0.0503387451171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.15814383
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.331809997558594 × 2 - 1) × π
    0.336380004882812 × 3.1415926535     		Φ = 1.05676895212414
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.15814383} λ = 0.15814383}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.05676895212414))-π/2
    2×atan(2.87706003658136)-π/2
    2×1.2362816785489-π/2
    2.4725633570978-1.57079632675     		φ = 0.90176703
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.15814383} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.060974°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90176703 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.667445°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68835 KachelY 43491 0.15814383 0.90176703 9.060974 51.667445
    Oben rechts KachelX + 1 68836 KachelY 43491 0.15819177 0.90176703 9.063721 51.667445
    Unten links KachelX 68835 KachelY + 1 43492 0.15814383 0.90173730 9.060974 51.665742
    Unten rechts KachelX + 1 68836 KachelY + 1 43492 0.15819177 0.90173730 9.063721 51.665742
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90176703-0.90173730) × R
    2.97300000000611e-05 × 6371000     		dl = 189.409830000389m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90176703-0.90173730) × R
    2.97300000000611e-05 × 6371000     		dr = 189.409830000389m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.15814383-0.15819177) × cos(0.90176703) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.62022483638618 × 6371000     		do = 189.432629619613m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.15814383-0.15819177) × cos(0.90173730) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.62024815704026 × 6371000     		du = 189.439752347643m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90176703)-sin(0.90173730))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.62022483638618-0.62024815704026)×R²
    abs(0.15819177-0.15814383)×2.33206540801723e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.33206540801723e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.33206540801723e-05×40589641000000     		ar = 35881.0767326931m²