Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 68834 / 72763
↖ ↑ ↗
← S 19.464003°
E  9.058227°		 ← 287.97 m → S 19.464003°
E  9.060974°		 →
↑
287.97 m
↓
↑
287.97 m
↓
S 19.466592°
E  9.058227°		 ← 287.97 m →
82 926 m²		 S 19.466592°
E  9.060974°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68834 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 72763 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.525165557861328 y=0.555141448974609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.525165557861328 × 217)
    floor (0.525165557861328 × 131072)
    floor (68834.5)     		tx = 68834
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.555141448974609 × 217)
    floor (0.555141448974609 × 131072)
    floor (72763.5)     		ty = 72763
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68834 / 72763 ti = "17/68834/72763"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68834/72763.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68834 ÷ 217
    68834 ÷ 131072     		x = 0.525161743164062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 72763 ÷ 217
    72763 ÷ 131072     		y = 0.555137634277344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.525161743164062 × 2 - 1) × π
    0.050323486328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.15809589
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.555137634277344 × 2 - 1) × π
    -0.110275268554688 × 3.1415926535     		Φ = -0.346439973554146
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.15809589} λ = 0.15809589}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.346439973554146))-π/2
    2×atan(0.707201268791881)-π/2
    2×0.615542697601548-π/2
    1.2310853952031-1.57079632675     		φ = -0.33971093
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.15809589} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.058227°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.33971093 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -19.464003°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68834 KachelY 72763 0.15809589 -0.33971093 9.058227 -19.464003
    Oben rechts KachelX + 1 68835 KachelY 72763 0.15814383 -0.33971093 9.060974 -19.464003
    Unten links KachelX 68834 KachelY + 1 72764 0.15809589 -0.33975613 9.058227 -19.466592
    Unten rechts KachelX + 1 68835 KachelY + 1 72764 0.15814383 -0.33975613 9.060974 -19.466592
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.33971093--0.33975613) × R
    4.51999999999675e-05 × 6371000     		dl = 287.969199999793m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.33971093--0.33975613) × R
    4.51999999999675e-05 × 6371000     		dr = 287.969199999793m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.15809589-0.15814383) × cos(-0.33971093) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.942851027251749 × 6371000     		do = 287.97097270827m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.15809589-0.15814383) × cos(-0.33975613) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.942835964990676 × 6371000     		du = 287.966372306036m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.33971093)-sin(-0.33975613))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.942851027251749-0.942835964990676)×R²
    abs(0.15814383-0.15809589)×1.50622610727291e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.50622610727291e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.50622610727291e-05×40589641000000     		ar = 82926.1082610675m²