Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68834 / 44774
↖ ↑ ↗
← N 49.428840°
E  9.058227°		 ← 198.65 m → N 49.428840°
E  9.060974°		 →
↑
198.58 m
↓
↑
198.58 m
↓
N 49.427054°
E  9.058227°		 ← 198.65 m →
39 449 m²		 N 49.427054°
E  9.060974°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68834 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44774 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.525165557861328 y=0.341602325439453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.525165557861328 × 217)
    floor (0.525165557861328 × 131072)
    floor (68834.5)     		tx = 68834
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.341602325439453 × 217)
    floor (0.341602325439453 × 131072)
    floor (44774.5)     		ty = 44774
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68834 / 44774 ti = "17/68834/44774"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68834/44774.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68834 ÷ 217
    68834 ÷ 131072     		x = 0.525161743164062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44774 ÷ 217
    44774 ÷ 131072     		y = 0.341598510742188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.525161743164062 × 2 - 1) × π
    0.050323486328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.15809589
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.341598510742188 × 2 - 1) × π
    0.316802978515625 × 3.1415926535     		Φ = 0.995265909911606
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.15809589} λ = 0.15809589}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.995265909911606))-π/2
    2×atan(2.70544364992137)-π/2
    2×1.21674616511448-π/2
    2.43349233022896-1.57079632675     		φ = 0.86269600
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.15809589} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.058227°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86269600 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.428840°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68834 KachelY 44774 0.15809589 0.86269600 9.058227 49.428840
    Oben rechts KachelX + 1 68835 KachelY 44774 0.15814383 0.86269600 9.060974 49.428840
    Unten links KachelX 68834 KachelY + 1 44775 0.15809589 0.86266483 9.058227 49.427054
    Unten rechts KachelX + 1 68835 KachelY + 1 44775 0.15814383 0.86266483 9.060974 49.427054
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86269600-0.86266483) × R
    3.11699999999693e-05 × 6371000     		dl = 198.584069999804m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86269600-0.86266483) × R
    3.11699999999693e-05 × 6371000     		dr = 198.584069999804m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.15809589-0.15814383) × cos(0.86269600) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.650391955997525 × 6371000     		do = 198.646444450691m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.15809589-0.15814383) × cos(0.86266483) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.650415632375482 × 6371000     		du = 198.653675825949m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86269600)-sin(0.86266483))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.650391955997525-0.650415632375482)×R²
    abs(0.15814383-0.15809589)×2.36763779568605e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.36763779568605e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.36763779568605e-05×40589641000000     		ar = 39448.7374511349m²