Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 68832 / 72767
↖ ↑ ↗
← S 19.474361°
E  9.052734°		 ← 287.95 m → S 19.474361°
E  9.055481°		 →
↑
287.91 m
↓
↑
287.91 m
↓
S 19.476950°
E  9.052734°		 ← 287.95 m →
82 902 m²		 S 19.476950°
E  9.055481°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68832 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 72767 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.525150299072266 y=0.555171966552734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.525150299072266 × 217)
    floor (0.525150299072266 × 131072)
    floor (68832.5)     		tx = 68832
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.555171966552734 × 217)
    floor (0.555171966552734 × 131072)
    floor (72767.5)     		ty = 72767
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68832 / 72767 ti = "17/68832/72767"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68832/72767.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68832 ÷ 217
    68832 ÷ 131072     		x = 0.525146484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 72767 ÷ 217
    72767 ÷ 131072     		y = 0.555168151855469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.525146484375 × 2 - 1) × π
    0.05029296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.15800002
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.555168151855469 × 2 - 1) × π
    -0.110336303710938 × 3.1415926535     		Φ = -0.346631721152626
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.15800002} λ = 0.15800002}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.346631721152626))-π/2
    2×atan(0.707065677647002)-π/2
    2×0.615452305779728-π/2
    1.23090461155946-1.57079632675     		φ = -0.33989172
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.15800002} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.052734°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.33989172 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -19.474361°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68832 KachelY 72767 0.15800002 -0.33989172 9.052734 -19.474361
    Oben rechts KachelX + 1 68833 KachelY 72767 0.15804796 -0.33989172 9.055481 -19.474361
    Unten links KachelX 68832 KachelY + 1 72768 0.15800002 -0.33993691 9.052734 -19.476950
    Unten rechts KachelX + 1 68833 KachelY + 1 72768 0.15804796 -0.33993691 9.055481 -19.476950
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.33989172--0.33993691) × R
    4.51899999999728e-05 × 6371000     		dl = 287.905489999826m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.33989172--0.33993691) × R
    4.51899999999728e-05 × 6371000     		dr = 287.905489999826m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.15800002-0.15804796) × cos(-0.33989172) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.942790769983922 × 6371000     		do = 287.952568587487m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.15800002-0.15804796) × cos(-0.33993691) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.94277570335273 × 6371000     		du = 287.947966850506m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.33989172)-sin(-0.33993691))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.942790769983922-0.94277570335273)×R²
    abs(0.15804796-0.15800002)×1.50666311921066e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.50666311921066e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.50666311921066e-05×40589641000000     		ar = 82902.4629372616m²