Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68831 / 43553
↖ ↑ ↗
← N 51.561705°
E  9.049988°		 ← 189.87 m → N 51.561705°
E  9.052734°		 →
↑
189.86 m
↓
↑
189.86 m
↓
N 51.559998°
E  9.049988°		 ← 189.88 m →
36 049 m²		 N 51.559998°
E  9.052734°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68831 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43553 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.525142669677734 y=0.332286834716797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.525142669677734 × 217)
    floor (0.525142669677734 × 131072)
    floor (68831.5)     		tx = 68831
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.332286834716797 × 217)
    floor (0.332286834716797 × 131072)
    floor (43553.5)     		ty = 43553
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68831 / 43553 ti = "17/68831/43553"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68831/43553.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68831 ÷ 217
    68831 ÷ 131072     		x = 0.525138854980469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43553 ÷ 217
    43553 ÷ 131072     		y = 0.332283020019531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.525138854980469 × 2 - 1) × π
    0.0502777099609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.15795208
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.332283020019531 × 2 - 1) × π
    0.335433959960938 × 3.1415926535     		Φ = 1.05379686434769
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.15795208} λ = 0.15795208}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.05379686434769))-π/2
    2×atan(2.86852185601062)-π/2
    2×1.23535892251646-π/2
    2.47071784503291-1.57079632675     		φ = 0.89992152
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.15795208} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.049988°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89992152 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.561705°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68831 KachelY 43553 0.15795208 0.89992152 9.049988 51.561705
    Oben rechts KachelX + 1 68832 KachelY 43553 0.15800002 0.89992152 9.052734 51.561705
    Unten links KachelX 68831 KachelY + 1 43554 0.15795208 0.89989172 9.049988 51.559998
    Unten rechts KachelX + 1 68832 KachelY + 1 43554 0.15800002 0.89989172 9.052734 51.559998
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89992152-0.89989172) × R
    2.98000000000798e-05 × 6371000     		dl = 189.855800000508m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89992152-0.89989172) × R
    2.98000000000798e-05 × 6371000     		dr = 189.855800000508m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.15795208-0.15800002) × cos(0.89992152) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.621671441852187 × 6371000     		do = 189.874460164557m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.15795208-0.15800002) × cos(0.89989172) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.621694783264222 × 6371000     		du = 189.8815892326m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89992152)-sin(0.89989172))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.621671441852187-0.621694783264222)×R²
    abs(0.15800002-0.15795208)×2.33414120353048e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.33414120353048e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.33414120353048e-05×40589641000000     		ar = 36049.4442843864m²