Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 6883 / 7909
↖ ↑ ↗
← N 79.459537°
W142.190552°		 ← 111.73 m → N 79.459537°
W142.185059°		 →
↑
111.75 m
↓
↑
111.75 m
↓
N 79.458532°
W142.190552°		 ← 111.74 m →
12 486 m²		 N 79.458532°
W142.185059°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6883 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7909 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.105033874511719 y=0.120689392089844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.105033874511719 × 216)
    floor (0.105033874511719 × 65536)
    floor (6883.5)     		tx = 6883
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.120689392089844 × 216)
    floor (0.120689392089844 × 65536)
    floor (7909.5)     		ty = 7909
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 6883 / 7909 ti = "16/6883/7909"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/6883/7909.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6883 ÷ 216
    6883 ÷ 65536     		x = 0.105026245117188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7909 ÷ 216
    7909 ÷ 65536     		y = 0.120681762695312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.105026245117188 × 2 - 1) × π
    -0.789947509765625 × 3.1415926535     		Λ = -2.48169329
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.120681762695312 × 2 - 1) × π
    0.758636474609375 × 3.1415926535     		Φ = 2.38332677530995
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.48169329} λ = -2.48169329}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.38332677530995))-π/2
    2×atan(10.8409082056391)-π/2
    2×1.47881343157401-π/2
    2.95762686314802-1.57079632675     		φ = 1.38683054
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.48169329} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -142.190552°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38683054 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.459537°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6883 KachelY 7909 -2.48169329 1.38683054 -142.190552 79.459537
    Oben rechts KachelX + 1 6884 KachelY 7909 -2.48159742 1.38683054 -142.185059 79.459537
    Unten links KachelX 6883 KachelY + 1 7910 -2.48169329 1.38681300 -142.190552 79.458532
    Unten rechts KachelX + 1 6884 KachelY + 1 7910 -2.48159742 1.38681300 -142.185059 79.458532
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38683054-1.38681300) × R
    1.75399999999826e-05 × 6371000     		dl = 111.747339999889m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38683054-1.38681300) × R
    1.75399999999826e-05 × 6371000     		dr = 111.747339999889m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.48169329--2.48159742) × cos(1.38683054) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.182929869684767 × 6371000     		do = 111.731327171147m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.48169329--2.48159742) × cos(1.38681300) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.18294711368605 × 6371000     		du = 111.741859596237m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38683054)-sin(1.38681300))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.182929869684767-0.18294711368605)×R²
    abs(-2.48159742--2.48169329)×1.72440012833619e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.72440012833619e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.72440012833619e-05×40589641000000     		ar = 12486.2670915685m²