Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68829 / 72760
↖ ↑ ↗
← S 19.456234°
E  9.044495°		 ← 287.98 m → S 19.456234°
E  9.047241°		 →
↑
287.97 m
↓
↑
287.97 m
↓
S 19.458824°
E  9.044495°		 ← 287.98 m →
82 930 m²		 S 19.458824°
E  9.047241°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68829 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 72760 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.525127410888672 y=0.555118560791016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.525127410888672 × 217)
    floor (0.525127410888672 × 131072)
    floor (68829.5)     		tx = 68829
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.555118560791016 × 217)
    floor (0.555118560791016 × 131072)
    floor (72760.5)     		ty = 72760
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68829 / 72760 ti = "17/68829/72760"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68829/72760.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68829 ÷ 217
    68829 ÷ 131072     		x = 0.525123596191406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 72760 ÷ 217
    72760 ÷ 131072     		y = 0.55511474609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.525123596191406 × 2 - 1) × π
    0.0502471923828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.15785621
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.55511474609375 × 2 - 1) × π
    -0.1102294921875 × 3.1415926535     		Φ = -0.346296162855286
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.15785621} λ = 0.15785621}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.346296162855286))-π/2
    2×atan(0.707302979213929)-π/2
    2×0.615610495258289-π/2
    1.23122099051658-1.57079632675     		φ = -0.33957534
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.15785621} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.044495°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.33957534 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -19.456234°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68829 KachelY 72760 0.15785621 -0.33957534 9.044495 -19.456234
    Oben rechts KachelX + 1 68830 KachelY 72760 0.15790415 -0.33957534 9.047241 -19.456234
    Unten links KachelX 68829 KachelY + 1 72761 0.15785621 -0.33962054 9.044495 -19.458824
    Unten rechts KachelX + 1 68830 KachelY + 1 72761 0.15790415 -0.33962054 9.047241 -19.458824
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.33957534--0.33962054) × R
    4.5200000000023e-05 × 6371000     		dl = 287.969200000147m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.33957534--0.33962054) × R
    4.5200000000023e-05 × 6371000     		dr = 287.969200000147m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.15785621-0.15790415) × cos(-0.33957534) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.942896199146282 × 6371000     		do = 287.984769367418m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.15785621-0.15790415) × cos(-0.33962054) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.942881142663723 × 6371000     		du = 287.980170730091m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.33957534)-sin(-0.33962054))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.942896199146282-0.942881142663723)×R²
    abs(0.15790415-0.15785621)×1.50564825593946e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.50564825593946e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.50564825593946e-05×40589641000000     		ar = 82930.0815280401m²