Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68827 / 72525
↖ ↑ ↗
← S 18.846513°
E  9.039002°		 ← 288.99 m → S 18.846513°
E  9.041748°		 →
↑
288.99 m
↓
↑
288.99 m
↓
S 18.849112°
E  9.039002°		 ← 288.99 m →
83 514 m²		 S 18.849112°
E  9.041748°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68827 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 72525 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.525112152099609 y=0.553325653076172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.525112152099609 × 217)
    floor (0.525112152099609 × 131072)
    floor (68827.5)     		tx = 68827
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.553325653076172 × 217)
    floor (0.553325653076172 × 131072)
    floor (72525.5)     		ty = 72525
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68827 / 72525 ti = "17/68827/72525"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68827/72525.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68827 ÷ 217
    68827 ÷ 131072     		x = 0.525108337402344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 72525 ÷ 217
    72525 ÷ 131072     		y = 0.553321838378906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.525108337402344 × 2 - 1) × π
    0.0502166748046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.15776034
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.553321838378906 × 2 - 1) × π
    -0.106643676757812 × 3.1415926535     		Φ = -0.335030991444572
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.15776034} λ = 0.15776034}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.335030991444572))-π/2
    2×atan(0.715315917335433)-π/2
    2×0.620931315129137-π/2
    1.24186263025827-1.57079632675     		φ = -0.32893370
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.15776034} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.039002°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.32893370 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -18.846513°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68827 KachelY 72525 0.15776034 -0.32893370 9.039002 -18.846513
    Oben rechts KachelX + 1 68828 KachelY 72525 0.15780827 -0.32893370 9.041748 -18.846513
    Unten links KachelX 68827 KachelY + 1 72526 0.15776034 -0.32897906 9.039002 -18.849112
    Unten rechts KachelX + 1 68828 KachelY + 1 72526 0.15780827 -0.32897906 9.041748 -18.849112
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.32893370--0.32897906) × R
    4.53599999999943e-05 × 6371000     		dl = 288.988559999964m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.32893370--0.32897906) × R
    4.53599999999943e-05 × 6371000     		dr = 288.988559999964m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.15776034-0.15780827) × cos(-0.32893370) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.946387332721105 × 6371000     		do = 288.990757086012m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.15776034-0.15780827) × cos(-0.32897906) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.946372678921657 × 6371000     		du = 288.986282372065m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.32893370)-sin(-0.32897906))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.946387332721105-0.946372678921657)×R²
    abs(0.15780827-0.15776034)×1.46537994473173e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.46537994473173e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.46537994473173e-05×40589641000000     		ar = 83514.3761872699m²