Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68826 / 44089
↖ ↑ ↗
← N 50.637269°
E  9.036255°		 ← 193.71 m → N 50.637269°
E  9.039002°		 →
↑
193.74 m
↓
↑
193.74 m
↓
N 50.635526°
E  9.036255°		 ← 193.72 m →
37 530 m²		 N 50.635526°
E  9.039002°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68826 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44089 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.525104522705078 y=0.336376190185547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.525104522705078 × 217)
    floor (0.525104522705078 × 131072)
    floor (68826.5)     		tx = 68826
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.336376190185547 × 217)
    floor (0.336376190185547 × 131072)
    floor (44089.5)     		ty = 44089
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68826 / 44089 ti = "17/68826/44089"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68826/44089.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68826 ÷ 217
    68826 ÷ 131072     		x = 0.525100708007812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44089 ÷ 217
    44089 ÷ 131072     		y = 0.336372375488281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.525100708007812 × 2 - 1) × π
    0.050201416015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.15771240
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.336372375488281 × 2 - 1) × π
    0.327255249023438 × 3.1415926535     		Φ = 1.02810268615134
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.15771240} λ = 0.15771240}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.02810268615134))-π/2
    2×atan(2.79575637215107)-π/2
    2×1.22729169189344-π/2
    2.45458338378689-1.57079632675     		φ = 0.88378706
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.15771240} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.036255°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88378706 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.637269°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68826 KachelY 44089 0.15771240 0.88378706 9.036255 50.637269
    Oben rechts KachelX + 1 68827 KachelY 44089 0.15776034 0.88378706 9.039002 50.637269
    Unten links KachelX 68826 KachelY + 1 44090 0.15771240 0.88375665 9.036255 50.635526
    Unten rechts KachelX + 1 68827 KachelY + 1 44090 0.15776034 0.88375665 9.039002 50.635526
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88378706-0.88375665) × R
    3.04099999999252e-05 × 6371000     		dl = 193.742109999524m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88378706-0.88375665) × R
    3.04099999999252e-05 × 6371000     		dr = 193.742109999524m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.15771240-0.15776034) × cos(0.88378706) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.634227747847605 × 6371000     		do = 193.709479214873m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.15771240-0.15776034) × cos(0.88375665) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.634251258932593 × 6371000     		du = 193.716660105404m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88378706)-sin(0.88375665))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.634227747847605-0.634251258932593)×R²
    abs(0.15776034-0.15771240)×2.35110849881037e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.35110849881037e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.35110849881037e-05×40589641000000     		ar = 37530.3788534259m²