Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68824 / 44875
↖ ↑ ↗
← N 49.248087°
E  9.030762°		 ← 199.34 m → N 49.248087°
E  9.033508°		 →
↑
199.41 m
↓
↑
199.41 m
↓
N 49.246293°
E  9.030762°		 ← 199.34 m →
39 751 m²		 N 49.246293°
E  9.033508°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68824 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44875 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.525089263916016 y=0.342372894287109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.525089263916016 × 217)
    floor (0.525089263916016 × 131072)
    floor (68824.5)     		tx = 68824
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.342372894287109 × 217)
    floor (0.342372894287109 × 131072)
    floor (44875.5)     		ty = 44875
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68824 / 44875 ti = "17/68824/44875"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68824/44875.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68824 ÷ 217
    68824 ÷ 131072     		x = 0.52508544921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44875 ÷ 217
    44875 ÷ 131072     		y = 0.342369079589844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.52508544921875 × 2 - 1) × π
    0.0501708984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.15761653
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.342369079589844 × 2 - 1) × π
    0.315261840820312 × 3.1415926535     		Φ = 0.99042428304998
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.15761653} λ = 0.15761653}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.99042428304998))-π/2
    2×atan(2.69237655978644)-π/2
    2×1.2151687913767-π/2
    2.43033758275341-1.57079632675     		φ = 0.85954126
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.15761653} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.030762°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85954126 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.248087°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68824 KachelY 44875 0.15761653 0.85954126 9.030762 49.248087
    Oben rechts KachelX + 1 68825 KachelY 44875 0.15766446 0.85954126 9.033508 49.248087
    Unten links KachelX 68824 KachelY + 1 44876 0.15761653 0.85950996 9.030762 49.246293
    Unten rechts KachelX + 1 68825 KachelY + 1 44876 0.15766446 0.85950996 9.033508 49.246293
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85954126-0.85950996) × R
    3.12999999999564e-05 × 6371000     		dl = 199.412299999722m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85954126-0.85950996) × R
    3.12999999999564e-05 × 6371000     		dr = 199.412299999722m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.15761653-0.15766446) × cos(0.85954126) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.652785052198913 × 6371000     		do = 199.335768693123m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.15761653-0.15766446) × cos(0.85950996) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.652808762980805 × 6371000     		du = 199.343009065614m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85954126)-sin(0.85950996))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.652785052198913-0.652808762980805)×R²
    abs(0.15766446-0.15761653)×2.37107818917837e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.37107818917837e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.37107818917837e-05×40589641000000     		ar = 39750.726020135m²