Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68821 / 96853
↖ ↑ ↗
← S 64.873440°
E  9.022522°		 ← 129.66 m → S 64.873440°
E  9.025268°		 →
↑
129.65 m
↓
↑
129.65 m
↓
S 64.874606°
E  9.022522°		 ← 129.66 m →
16 810 m²		 S 64.874606°
E  9.025268°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68821 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96853 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.525066375732422 y=0.738933563232422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.525066375732422 × 217)
    floor (0.525066375732422 × 131072)
    floor (68821.5)     		tx = 68821
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.738933563232422 × 217)
    floor (0.738933563232422 × 131072)
    floor (96853.5)     		ty = 96853
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68821 / 96853 ti = "17/68821/96853"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68821/96853.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68821 ÷ 217
    68821 ÷ 131072     		x = 0.525062561035156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96853 ÷ 217
    96853 ÷ 131072     		y = 0.738929748535156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.525062561035156 × 2 - 1) × π
    0.0501251220703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.15747272
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.738929748535156 × 2 - 1) × π
    -0.477859497070312 × 3.1415926535     		Φ = -1.5012398854013
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.15747272} λ = 0.15747272}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.5012398854013))-π/2
    2×atan(0.222853675760171)-π/2
    2×0.219270603425283-π/2
    0.438541206850565-1.57079632675     		φ = -1.13225512
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.15747272} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.022522°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13225512 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.873440°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68821 KachelY 96853 0.15747272 -1.13225512 9.022522 -64.873440
    Oben rechts KachelX + 1 68822 KachelY 96853 0.15752065 -1.13225512 9.025268 -64.873440
    Unten links KachelX 68821 KachelY + 1 96854 0.15747272 -1.13227547 9.022522 -64.874606
    Unten rechts KachelX + 1 68822 KachelY + 1 96854 0.15752065 -1.13227547 9.025268 -64.874606
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13225512--1.13227547) × R
    2.03500000000023e-05 × 6371000     		dl = 129.649850000015m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13225512--1.13227547) × R
    2.03500000000023e-05 × 6371000     		dr = 129.649850000015m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.15747272-0.15752065) × cos(-1.13225512) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.42461916673947 × 6371000     		do = 129.662570732477m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.15747272-0.15752065) × cos(-1.13227547) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.424600742330171 × 6371000     		du = 129.656944617452m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13225512)-sin(-1.13227547))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.42461916673947-0.424600742330171)×R²
    abs(0.15752065-0.15747272)×1.8424409299278e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.8424409299278e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.8424409299278e-05×40589641000000     		ar = 16810.3681340389m²