Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68821 / 43824
↖ ↑ ↗
← N 51.096623°
E  9.022522°		 ← 191.77 m → N 51.096623°
E  9.025268°		 →
↑
191.83 m
↓
↑
191.83 m
↓
N 51.094898°
E  9.022522°		 ← 191.78 m →
36 788 m²		 N 51.094898°
E  9.025268°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68821 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43824 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.525066375732422 y=0.334354400634766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.525066375732422 × 217)
    floor (0.525066375732422 × 131072)
    floor (68821.5)     		tx = 68821
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.334354400634766 × 217)
    floor (0.334354400634766 × 131072)
    floor (43824.5)     		ty = 43824
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68821 / 43824 ti = "17/68821/43824"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68821/43824.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68821 ÷ 217
    68821 ÷ 131072     		x = 0.525062561035156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43824 ÷ 217
    43824 ÷ 131072     		y = 0.3343505859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.525062561035156 × 2 - 1) × π
    0.0501251220703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.15747272
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3343505859375 × 2 - 1) × π
    0.331298828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.04080596455066
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.15747272} λ = 0.15747272}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.04080596455066))-π/2
    2×atan(2.83149818211794)-π/2
    2×1.23130031690853-π/2
    2.46260063381707-1.57079632675     		φ = 0.89180431
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.15747272} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.022522°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89180431 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.096623°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68821 KachelY 43824 0.15747272 0.89180431 9.022522 51.096623
    Oben rechts KachelX + 1 68822 KachelY 43824 0.15752065 0.89180431 9.025268 51.096623
    Unten links KachelX 68821 KachelY + 1 43825 0.15747272 0.89177420 9.022522 51.094898
    Unten rechts KachelX + 1 68822 KachelY + 1 43825 0.15752065 0.89177420 9.025268 51.094898
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89180431-0.89177420) × R
    3.01100000000831e-05 × 6371000     		dl = 191.83081000053m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89180431-0.89177420) × R
    3.01100000000831e-05 × 6371000     		dr = 191.83081000053m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.15747272-0.15752065) × cos(0.89180431) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.628008924473639 × 6371000     		do = 191.770080035394m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.15747272-0.15752065) × cos(0.89177420) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.628032355975724 × 6371000     		du = 191.777235126436m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89180431)-sin(0.89177420))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.628008924473639-0.628032355975724)×R²
    abs(0.15752065-0.15747272)×2.34315020842812e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.34315020842812e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.34315020842812e-05×40589641000000     		ar = 36788.0960733261m²