Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6882 / 2109
↖ ↑ ↗
← N 78.916608°
W 28.784180°		 ← 469.69 m → N 78.916608°
W 28.762207°		 →
↑
469.73 m
↓
↑
469.73 m
↓
N 78.912384°
W 28.784180°		 ← 469.87 m →
220 671 m²		 N 78.912384°
W 28.762207°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6882 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2109 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.420074462890625 y=0.128753662109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.420074462890625 × 214)
    floor (0.420074462890625 × 16384)
    floor (6882.5)     		tx = 6882
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.128753662109375 × 214)
    floor (0.128753662109375 × 16384)
    floor (2109.5)     		ty = 2109
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6882 / 2109 ti = "14/6882/2109"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6882/2109.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6882 ÷ 214
    6882 ÷ 16384     		x = 0.4200439453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2109 ÷ 214
    2109 ÷ 16384     		y = 0.12872314453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4200439453125 × 2 - 1) × π
    -0.159912109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.50237871
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.12872314453125 × 2 - 1) × π
    0.7425537109375 × 3.1415926535     		Φ = 2.33280128311041
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50237871} λ = -0.50237871}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.33280128311041))-π/2
    2×atan(10.3067733212164)-π/2
    2×1.47407548937731-π/2
    2.94815097875461-1.57079632675     		φ = 1.37735465
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50237871} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.784180°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37735465 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.916608°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6882 KachelY 2109 -0.50237871 1.37735465 -28.784180 78.916608
    Oben rechts KachelX + 1 6883 KachelY 2109 -0.50199521 1.37735465 -28.762207 78.916608
    Unten links KachelX 6882 KachelY + 1 2110 -0.50237871 1.37728092 -28.784180 78.912384
    Unten rechts KachelX + 1 6883 KachelY + 1 2110 -0.50199521 1.37728092 -28.762207 78.912384
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37735465-1.37728092) × R
    7.37299999999941e-05 × 6371000     		dl = 469.733829999962m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37735465-1.37728092) × R
    7.37299999999941e-05 × 6371000     		dr = 469.733829999962m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50237871--0.50199521) × cos(1.37735465) × R
    0.000383499999999981 × 0.192237510963905 × 6371000     		do = 469.6897774316m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50237871--0.50199521) × cos(1.37728092) × R
    0.000383499999999981 × 0.192309865261007 × 6371000     		du = 469.866559130093m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37735465)-sin(1.37728092))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.192237510963905-0.192309865261007)×R²
    abs(-0.50199521--0.50237871)×7.23542971026447e-05×R²
    0.000383499999999981×7.23542971026447e-05×6371000²
    0.000383499999999981×7.23542971026447e-05×40589641000000     		ar = 220670.698335946m²