Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6882 / 2087
↖ ↑ ↗
← N 79.009152°
W 28.784180°		 ← 465.82 m → N 79.009152°
W 28.762207°		 →
↑
465.85 m
↓
↑
465.85 m
↓
N 79.004962°
W 28.784180°		 ← 465.99 m →
217 040 m²		 N 79.004962°
W 28.762207°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6882 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2087 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.420074462890625 y=0.127410888671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.420074462890625 × 214)
    floor (0.420074462890625 × 16384)
    floor (6882.5)     		tx = 6882
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.127410888671875 × 214)
    floor (0.127410888671875 × 16384)
    floor (2087.5)     		ty = 2087
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6882 / 2087 ti = "14/6882/2087"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6882/2087.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6882 ÷ 214
    6882 ÷ 16384     		x = 0.4200439453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2087 ÷ 214
    2087 ÷ 16384     		y = 0.12738037109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4200439453125 × 2 - 1) × π
    -0.159912109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.50237871
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.12738037109375 × 2 - 1) × π
    0.7452392578125 × 3.1415926535     		Φ = 2.34123817744354
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50237871} λ = -0.50237871}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.34123817744354))-π/2
    2×atan(10.3940983366159)-π/2
    2×1.47488308492885-π/2
    2.9497661698577-1.57079632675     		φ = 1.37896984
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50237871} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.784180°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37896984 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.009152°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6882 KachelY 2087 -0.50237871 1.37896984 -28.784180 79.009152
    Oben rechts KachelX + 1 6883 KachelY 2087 -0.50199521 1.37896984 -28.762207 79.009152
    Unten links KachelX 6882 KachelY + 1 2088 -0.50237871 1.37889672 -28.784180 79.004962
    Unten rechts KachelX + 1 6883 KachelY + 1 2088 -0.50199521 1.37889672 -28.762207 79.004962
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37896984-1.37889672) × R
    7.31199999999266e-05 × 6371000     		dl = 465.847519999532m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37896984-1.37889672) × R
    7.31199999999266e-05 × 6371000     		dr = 465.847519999532m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50237871--0.50199521) × cos(1.37896984) × R
    0.000383499999999981 × 0.190652196725558 × 6371000     		do = 465.816413237303m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50237871--0.50199521) × cos(1.37889672) × R
    0.000383499999999981 × 0.190723975023126 × 6371000     		du = 465.991787608518m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37896984)-sin(1.37889672))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.190652196725558-0.190723975023126)×R²
    abs(-0.50199521--0.50237871)×7.17782975682146e-05×R²
    0.000383499999999981×7.17782975682146e-05×6371000²
    0.000383499999999981×7.17782975682146e-05×40589641000000     		ar = 217040.269835934m²