Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 68819 / 44387
↖ ↑ ↗
← N 50.115295°
E  9.017029°		 ← 195.85 m → N 50.115295°
E  9.019775°		 →
↑
195.84 m
↓
↑
195.84 m
↓
N 50.113534°
E  9.017029°		 ← 195.86 m →
38 357 m²		 N 50.113534°
E  9.019775°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68819 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44387 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.525051116943359 y=0.338649749755859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.525051116943359 × 217)
    floor (0.525051116943359 × 131072)
    floor (68819.5)     		tx = 68819
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.338649749755859 × 217)
    floor (0.338649749755859 × 131072)
    floor (44387.5)     		ty = 44387
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68819 / 44387 ti = "17/68819/44387"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68819/44387.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68819 ÷ 217
    68819 ÷ 131072     		x = 0.525047302246094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44387 ÷ 217
    44387 ÷ 131072     		y = 0.338645935058594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.525047302246094 × 2 - 1) × π
    0.0500946044921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.15737684
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.338645935058594 × 2 - 1) × π
    0.322708129882812 × 3.1415926535     		Φ = 1.01381749006457
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.15737684} λ = 0.15737684}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.01381749006457))-π/2
    2×atan(2.75610235123315)-π/2
    2×1.22273661240558-π/2
    2.44547322481116-1.57079632675     		φ = 0.87467690
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.15737684} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.017029°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87467690 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.115295°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68819 KachelY 44387 0.15737684 0.87467690 9.017029 50.115295
    Oben rechts KachelX + 1 68820 KachelY 44387 0.15742478 0.87467690 9.019775 50.115295
    Unten links KachelX 68819 KachelY + 1 44388 0.15737684 0.87464616 9.017029 50.113534
    Unten rechts KachelX + 1 68820 KachelY + 1 44388 0.15742478 0.87464616 9.019775 50.113534
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87467690-0.87464616) × R
    3.07400000000291e-05 × 6371000     		dl = 195.844540000185m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87467690-0.87464616) × R
    3.07400000000291e-05 × 6371000     		dr = 195.844540000185m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.15737684-0.15742478) × cos(0.87467690) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.641244818006595 × 6371000     		do = 195.852673060815m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.15737684-0.15742478) × cos(0.87464616) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.641268405623206 × 6371000     		du = 195.859877326073m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87467690)-sin(0.87464616))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.641244818006595-0.641268405623206)×R²
    abs(0.15742478-0.15737684)×2.35876166111426e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.35876166111426e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.35876166111426e-05×40589641000000     		ar = 38357.382124317m²