Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68817 / 44851
↖ ↑ ↗
← N 49.291098°
E  9.011536°		 ← 199.16 m → N 49.291098°
E  9.014282°		 →
↑
199.22 m
↓
↑
199.22 m
↓
N 49.289306°
E  9.011536°		 ← 199.17 m →
39 678 m²		 N 49.289306°
E  9.014282°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68817 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44851 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.525035858154297 y=0.342189788818359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.525035858154297 × 217)
    floor (0.525035858154297 × 131072)
    floor (68817.5)     		tx = 68817
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.342189788818359 × 217)
    floor (0.342189788818359 × 131072)
    floor (44851.5)     		ty = 44851
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68817 / 44851 ti = "17/68817/44851"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68817/44851.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68817 ÷ 217
    68817 ÷ 131072     		x = 0.525032043457031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44851 ÷ 217
    44851 ÷ 131072     		y = 0.342185974121094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.525032043457031 × 2 - 1) × π
    0.0500640869140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.15728097
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.342185974121094 × 2 - 1) × π
    0.315628051757812 × 3.1415926535     		Φ = 0.991574768640862
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.15728097} λ = 0.15728097}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.991574768640862))-π/2
    2×atan(2.69547588274504)-π/2
    2×1.21554413765256-π/2
    2.43108827530512-1.57079632675     		φ = 0.86029195
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.15728097} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.011536°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86029195 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.291098°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68817 KachelY 44851 0.15728097 0.86029195 9.011536 49.291098
    Oben rechts KachelX + 1 68818 KachelY 44851 0.15732890 0.86029195 9.014282 49.291098
    Unten links KachelX 68817 KachelY + 1 44852 0.15728097 0.86026068 9.011536 49.289306
    Unten rechts KachelX + 1 68818 KachelY + 1 44852 0.15732890 0.86026068 9.014282 49.289306
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86029195-0.86026068) × R
    3.12700000000277e-05 × 6371000     		dl = 199.221170000176m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86029195-0.86026068) × R
    3.12700000000277e-05 × 6371000     		dr = 199.221170000176m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.15728097-0.15732890) × cos(0.86029195) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.652216188225768 × 6371000     		do = 199.162059235489m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.15728097-0.15732890) × cos(0.86026068) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.652239891599106 × 6371000     		du = 199.169297345689m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86029195)-sin(0.86026068))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.652216188225768-0.652239891599106)×R²
    abs(0.15732890-0.15728097)×2.3703373337236e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.3703373337236e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.3703373337236e-05×40589641000000     		ar = 39678.0194562015m²