Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68815 / 72738
↖ ↑ ↗
← S 19.399249°
E  9.006042°		 ← 288.09 m → S 19.399249°
E  9.008789°		 →
↑
288.10 m
↓
↑
288.10 m
↓
S 19.401840°
E  9.006042°		 ← 288.08 m →
82 996 m²		 S 19.401840°
E  9.008789°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68815 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 72738 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.525020599365234 y=0.554950714111328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.525020599365234 × 217)
    floor (0.525020599365234 × 131072)
    floor (68815.5)     		tx = 68815
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.554950714111328 × 217)
    floor (0.554950714111328 × 131072)
    floor (72738.5)     		ty = 72738
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68815 / 72738 ti = "17/68815/72738"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68815/72738.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68815 ÷ 217
    68815 ÷ 131072     		x = 0.525016784667969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 72738 ÷ 217
    72738 ÷ 131072     		y = 0.554946899414062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.525016784667969 × 2 - 1) × π
    0.0500335693359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.15718509
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.554946899414062 × 2 - 1) × π
    -0.109893798828125 × 3.1415926535     		Φ = -0.345241551063644
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.15718509} λ = 0.15718509}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.345241551063644))-π/2
    2×atan(0.708049302747699)-π/2
    2×0.61610777723873-π/2
    1.23221555447746-1.57079632675     		φ = -0.33858077
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.15718509} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.006042°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.33858077 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -19.399249°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68815 KachelY 72738 0.15718509 -0.33858077 9.006042 -19.399249
    Oben rechts KachelX + 1 68816 KachelY 72738 0.15723303 -0.33858077 9.008789 -19.399249
    Unten links KachelX 68815 KachelY + 1 72739 0.15718509 -0.33862599 9.006042 -19.401840
    Unten rechts KachelX + 1 68816 KachelY + 1 72739 0.15723303 -0.33862599 9.008789 -19.401840
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.33858077--0.33862599) × R
    4.52200000000125e-05 × 6371000     		dl = 288.096620000079m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.33858077--0.33862599) × R
    4.52200000000125e-05 × 6371000     		dr = 288.096620000079m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.15718509-0.15723303) × cos(-0.33858077) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.943227010800673 × 6371000     		do = 288.085807761761m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.15718509-0.15723303) × cos(-0.33862599) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.943211990068874 × 6371000     		du = 288.081220043636m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.33858077)-sin(-0.33862599))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.943227010800673-0.943211990068874)×R²
    abs(0.15723303-0.15718509)×1.50207317989315e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.50207317989315e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.50207317989315e-05×40589641000000     		ar = 82995.8866471979m²