Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68815 / 44623
↖ ↑ ↗
← N 49.697838°
E  9.006042°		 ← 197.56 m → N 49.697838°
E  9.008789°		 →
↑
197.56 m
↓
↑
197.56 m
↓
N 49.696062°
E  9.006042°		 ← 197.56 m →
39 031 m²		 N 49.696062°
E  9.008789°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68815 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44623 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.525020599365234 y=0.340450286865234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.525020599365234 × 217)
    floor (0.525020599365234 × 131072)
    floor (68815.5)     		tx = 68815
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.340450286865234 × 217)
    floor (0.340450286865234 × 131072)
    floor (44623.5)     		ty = 44623
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68815 / 44623 ti = "17/68815/44623"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68815/44623.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68815 ÷ 217
    68815 ÷ 131072     		x = 0.525016784667969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44623 ÷ 217
    44623 ÷ 131072     		y = 0.340446472167969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.525016784667969 × 2 - 1) × π
    0.0500335693359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.15718509
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.340446472167969 × 2 - 1) × π
    0.319107055664062 × 3.1415926535     		Φ = 1.00250438175423
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.15718509} λ = 0.15718509}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.00250438175423))-π/2
    2×atan(2.72509797542762)-π/2
    2×1.21909361891869-π/2
    2.43818723783737-1.57079632675     		φ = 0.86739091
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.15718509} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.006042°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86739091 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.697838°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68815 KachelY 44623 0.15718509 0.86739091 9.006042 49.697838
    Oben rechts KachelX + 1 68816 KachelY 44623 0.15723303 0.86739091 9.008789 49.697838
    Unten links KachelX 68815 KachelY + 1 44624 0.15718509 0.86735990 9.006042 49.696062
    Unten rechts KachelX + 1 68816 KachelY + 1 44624 0.15723303 0.86735990 9.008789 49.696062
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86739091-0.86735990) × R
    3.10100000000535e-05 × 6371000     		dl = 197.564710000341m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86739091-0.86735990) × R
    3.10100000000535e-05 × 6371000     		dr = 197.564710000341m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.15718509-0.15723303) × cos(0.86739091) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.64681855318481 × 6371000     		do = 197.555035252185m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.15718509-0.15723303) × cos(0.86735990) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.646842202461983 × 6371000     		du = 197.562258350166m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86739091)-sin(0.86735990))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.64681855318481-0.646842202461983)×R²
    abs(0.15723303-0.15718509)×2.36492771729102e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.36492771729102e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.36492771729102e-05×40589641000000     		ar = 39030.616766445m²