Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 68814 / 44011
↖ ↑ ↗
← N 50.772945°
E  9.003296°		 ← 193.11 m → N 50.772945°
E  9.006042°		 →
↑
193.17 m
↓
↑
193.17 m
↓
N 50.771208°
E  9.003296°		 ← 193.12 m →
37 303 m²		 N 50.771208°
E  9.006042°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68814 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44011 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.525012969970703 y=0.335781097412109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.525012969970703 × 217)
    floor (0.525012969970703 × 131072)
    floor (68814.5)     		tx = 68814
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.335781097412109 × 217)
    floor (0.335781097412109 × 131072)
    floor (44011.5)     		ty = 44011
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68814 / 44011 ti = "17/68814/44011"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68814/44011.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68814 ÷ 217
    68814 ÷ 131072     		x = 0.525009155273438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44011 ÷ 217
    44011 ÷ 131072     		y = 0.335777282714844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.525009155273438 × 2 - 1) × π
    0.050018310546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.15713716
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.335777282714844 × 2 - 1) × π
    0.328445434570312 × 3.1415926535     		Φ = 1.03184176432171
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.15713716} λ = 0.15713716}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.03184176432171))-π/2
    2×atan(2.80622949147596)-π/2
    2×1.22847569214167-π/2
    2.45695138428333-1.57079632675     		φ = 0.88615506
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.15713716} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.003296°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88615506 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.772945°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68814 KachelY 44011 0.15713716 0.88615506 9.003296 50.772945
    Oben rechts KachelX + 1 68815 KachelY 44011 0.15718509 0.88615506 9.006042 50.772945
    Unten links KachelX 68814 KachelY + 1 44012 0.15713716 0.88612474 9.003296 50.771208
    Unten rechts KachelX + 1 68815 KachelY + 1 44012 0.15718509 0.88612474 9.006042 50.771208
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88615506-0.88612474) × R
    3.03200000000281e-05 × 6371000     		dl = 193.168720000179m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88615506-0.88612474) × R
    3.03200000000281e-05 × 6371000     		dr = 193.168720000179m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.15713716-0.15718509) × cos(0.88615506) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.632395160986298 × 6371000     		do = 193.109470120959m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.15713716-0.15718509) × cos(0.88612474) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.632418647961062 × 6371000     		du = 193.116642151252m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88615506)-sin(0.88612474))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.632395160986298-0.632418647961062)×R²
    abs(0.15718509-0.15713716)×2.34869747640643e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.34869747640643e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.34869747640643e-05×40589641000000     		ar = 37303.4018719884m²