Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68814 / 43730
↖ ↑ ↗
← N 51.258477°
E  9.003296°		 ← 191.10 m → N 51.258477°
E  9.006042°		 →
↑
191.13 m
↓
↑
191.13 m
↓
N 51.256759°
E  9.003296°		 ← 191.11 m →
36 525 m²		 N 51.256759°
E  9.006042°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68814 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43730 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.525012969970703 y=0.333637237548828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.525012969970703 × 217)
    floor (0.525012969970703 × 131072)
    floor (68814.5)     		tx = 68814
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.333637237548828 × 217)
    floor (0.333637237548828 × 131072)
    floor (43730.5)     		ty = 43730
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68814 / 43730 ti = "17/68814/43730"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68814/43730.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68814 ÷ 217
    68814 ÷ 131072     		x = 0.525009155273438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43730 ÷ 217
    43730 ÷ 131072     		y = 0.333633422851562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.525009155273438 × 2 - 1) × π
    0.050018310546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.15713716
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.333633422851562 × 2 - 1) × π
    0.332733154296875 × 3.1415926535     		Φ = 1.04531203311494
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.15713716} λ = 0.15713716}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.04531203311494))-π/2
    2×atan(2.8442858965878)-π/2
    2×1.23271276274249-π/2
    2.46542552548498-1.57079632675     		φ = 0.89462920
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.15713716} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.003296°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89462920 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.258477°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68814 KachelY 43730 0.15713716 0.89462920 9.003296 51.258477
    Oben rechts KachelX + 1 68815 KachelY 43730 0.15718509 0.89462920 9.006042 51.258477
    Unten links KachelX 68814 KachelY + 1 43731 0.15713716 0.89459920 9.003296 51.256759
    Unten rechts KachelX + 1 68815 KachelY + 1 43731 0.15718509 0.89459920 9.006042 51.256759
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89462920-0.89459920) × R
    2.99999999999745e-05 × 6371000     		dl = 191.129999999837m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89462920-0.89459920) × R
    2.99999999999745e-05 × 6371000     		dr = 191.129999999837m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.15713716-0.15718509) × cos(0.89462920) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.625808074909648 × 6371000     		do = 191.098024144809m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.15713716-0.15718509) × cos(0.89459920) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.625831473940586 × 6371000     		du = 191.105169320396m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89462920)-sin(0.89459920))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.625808074909648-0.625831473940586)×R²
    abs(0.15718509-0.15713716)×2.33990309377319e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.33990309377319e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.33990309377319e-05×40589641000000     		ar = 36525.2481860676m²