Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68813 / 44446
↖ ↑ ↗
← N 50.011269°
E  9.000549°		 ← 196.28 m → N 50.011269°
E  9.003296°		 →
↑
196.23 m
↓
↑
196.23 m
↓
N 50.009504°
E  9.000549°		 ← 196.29 m →
38 516 m²		 N 50.009504°
E  9.003296°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68813 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44446 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.525005340576172 y=0.339099884033203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.525005340576172 × 217)
    floor (0.525005340576172 × 131072)
    floor (68813.5)     		tx = 68813
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.339099884033203 × 217)
    floor (0.339099884033203 × 131072)
    floor (44446.5)     		ty = 44446
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68813 / 44446 ti = "17/68813/44446"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68813/44446.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68813 ÷ 217
    68813 ÷ 131072     		x = 0.525001525878906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44446 ÷ 217
    44446 ÷ 131072     		y = 0.339096069335938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.525001525878906 × 2 - 1) × π
    0.0500030517578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.15708922
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.339096069335938 × 2 - 1) × π
    0.321807861328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.01098921298698
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.15708922} λ = 0.15708922}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.01098921298698))-π/2
    2×atan(2.74831834298452)-π/2
    2×1.22182881918321-π/2
    2.44365763836642-1.57079632675     		φ = 0.87286131
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.15708922} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.000549°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87286131 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.011269°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68813 KachelY 44446 0.15708922 0.87286131 9.000549 50.011269
    Oben rechts KachelX + 1 68814 KachelY 44446 0.15713716 0.87286131 9.003296 50.011269
    Unten links KachelX 68813 KachelY + 1 44447 0.15708922 0.87283051 9.000549 50.009504
    Unten rechts KachelX + 1 68814 KachelY + 1 44447 0.15713716 0.87283051 9.003296 50.009504
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87286131-0.87283051) × R
    3.07999999999975e-05 × 6371000     		dl = 196.226799999984m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87286131-0.87283051) × R
    3.07999999999975e-05 × 6371000     		dr = 196.226799999984m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.15708922-0.15713716) × cos(0.87286131) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.642636928567099 × 6371000     		do = 196.277859458918m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.15708922-0.15713716) × cos(0.87283051) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.642660526324593 × 6371000     		du = 196.285066821463m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87286131)-sin(0.87283051))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.642636928567099-0.642660526324593)×R²
    abs(0.15713716-0.15708922)×2.35977574944979e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.35977574944979e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.35977574944979e-05×40589641000000     		ar = 38515.6834144625m²