Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68812 / 96844
↖ ↑ ↗
← S 64.862941°
E  8.997803°		 ← 129.74 m → S 64.862941°
E  9.000549°		 →
↑
129.71 m
↓
↑
129.71 m
↓
S 64.864108°
E  8.997803°		 ← 129.73 m →
16 829 m²		 S 64.864108°
E  9.000549°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68812 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96844 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.524997711181641 y=0.738864898681641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.524997711181641 × 217)
    floor (0.524997711181641 × 131072)
    floor (68812.5)     		tx = 68812
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.738864898681641 × 217)
    floor (0.738864898681641 × 131072)
    floor (96844.5)     		ty = 96844
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68812 / 96844 ti = "17/68812/96844"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68812/96844.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68812 ÷ 217
    68812 ÷ 131072     		x = 0.524993896484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96844 ÷ 217
    96844 ÷ 131072     		y = 0.738861083984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.524993896484375 × 2 - 1) × π
    0.04998779296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.15704128
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.738861083984375 × 2 - 1) × π
    -0.47772216796875 × 3.1415926535     		Φ = -1.50080845330472
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.15704128} λ = 0.15704128}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.50080845330472))-π/2
    2×atan(0.222949842732002)-π/2
    2×0.219362218485015-π/2
    0.438724436970031-1.57079632675     		φ = -1.13207189
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.15704128} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.997803°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13207189 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.862941°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68812 KachelY 96844 0.15704128 -1.13207189 8.997803 -64.862941
    Oben rechts KachelX + 1 68813 KachelY 96844 0.15708922 -1.13207189 9.000549 -64.862941
    Unten links KachelX 68812 KachelY + 1 96845 0.15704128 -1.13209225 8.997803 -64.864108
    Unten rechts KachelX + 1 68813 KachelY + 1 96845 0.15708922 -1.13209225 9.000549 -64.864108
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13207189--1.13209225) × R
    2.03599999999415e-05 × 6371000     		dl = 129.713559999628m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13207189--1.13209225) × R
    2.03599999999415e-05 × 6371000     		dr = 129.713559999628m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.15704128-0.15708922) × cos(-1.13207189) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.424785050932793 × 6371000     		do = 129.740288522076m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.15704128-0.15708922) × cos(-1.13209225) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.424766619054031 × 6371000     		du = 129.734658951865m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13207189)-sin(-1.13209225))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.424785050932793-0.424766619054031)×R²
    abs(0.15708922-0.15704128)×1.84318787627702e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.84318787627702e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.84318787627702e-05×40589641000000     		ar = 16828.7095842456m²